Тип 26 № 21040

Обоснование:

1. Выберем инерциальную систему отсчёта (ИСО), жестко связанную с поверхностью Земли.
2. Линейные размеры груза малы по сравнению с радиусом окружности его вращения, поэтому будем описывать его моделью материальной точки.
3. Так как груз неподвижен относительно вращающегося диска, в земной ИСО он совершает равномерное движение по окружности радиуса $R$ в горизонтальной плоскости с центростремительным ускорением направленным к оси вращения диска.
4. К материальной точке в ИСО применим второй закон Ньютона
5. Сила упругости подчиняется закону Гука: $F_{\text{упр}} = k|\Delta l|$.
6. Условие покоя тела на шероховатой поверхности определяет модуль силы трения покоя через силу нормальной реакции опоры $N$: $$F_{\text{тр}} \le F_{\text{тр. макс}} = \mu N$$

Решение:
Введём прямоугольную систему координат с началом $O$ на плоскости диска, осью $Ox$, направленной от груза к оси вращения (вдоль радиуса $R$), и вертикальной осью $Oy$, направленной вверх.

Спроецируем второй закон Ньютона на ось $Oy$: $$N - mg = 0 \implies N = mg$$ Максимальное значение силы трения покоя: $$F_{\text{тр. макс}} = \mu mg$$ Центростремительное ускорение: $$a_{\text{ц}} = \omega^2 R = 4\pi^2 \nu^2 R$$ Возможны два принципиальных случая расположения груза относительно нерастянутой длины пружины:

Случай 1. Пружина растянута ($R > L$): Удлинение пружины составляет $\Delta l = R - L > 0$, поэтому сила упругости направлена к оси вращения: $F_{\text{упр}} = k(R - L)$. При стремлении тела удалиться от центра сила трения покоя препятствует проскальзыванию и направлена от оси вращения (влево по оси $Ox$ направлены $\vec{a}_{\text{ц}}$ и $\vec{F}_{\text{упр}}$, вправо — $\vec{F}_{\text{тр}}$). Проекция второго закона Ньютона на ось $Ox$: $$k(R - L) - F_{\text{тр}} = m a_{\text{ц}} = 4\pi^2 \nu^2 m R$$ $$F_{\text{тр}} = k(R - L) - 4\pi^2 \nu^2 m R \le \mu mg$$ $$R(k - 4\pi^2 \nu^2 m) \le \mu mg + kL \implies R \le \frac{\mu mg + kL}{k - 4\pi^2 \nu^2 m} \approx 0{,}7\text{ м}$$ Этот случай определяет максимально возможное удаление груза от центра диска ($R_{\text{макс}} \approx 0{,}7\text{ м}$).

Случай 2. Пружина сжата ($R < L$): Величина абсолютного сжатия равна $\Delta l = L - R > 0$. Пружина отталкивает груз от оси вращения, поэтому сила упругости $F_{\text{упр}} = k(L - R)$ направлена от центра диска (против оси $Ox$). Для обеспечения требуемого центростремительного ускорения и предотвращения срыва груза сила трения покоя должна быть направлена к центру диска (вдоль оси $Ox$).

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$: $$F_{\text{тр}} - k(L - R) = m a_{\text{ц}} = 4\pi^2 \nu^2 m R$$ Выразим модуль силы трения покоя: $$F_{\text{тр}} = 4\pi^2 \nu^2 m R + k(L - R)$$ Используем условие отсутствия проскальзывания $F_{\text{тр}} \le \mu mg$: $$4\pi^2 \nu^2 m R + k(L - R) \le \mu mg$$ $$kL - \mu mg \le (k - 4\pi^2 \nu^2 m)R$$ $$R \ge \frac{kL - \mu mg}{k - 4\pi^2 \nu^2 m}$$ Следовательно, наименьшее расстояние от центра диска, при котором возможно равновесие, равно: $$R_{\text{min}} = \frac{kL - \mu mg}{k - 4\pi^2 \nu^2 m}$$ Подставим числовые значения физических величин: $$R_{\text{min}} = \frac{30\text{ Н/м} \cdot 0{,}3\text{ м} - 0{,}5 \cdot 1\text{ кг} \cdot 10\text{ м/с}^2}{30\text{ Н/м} - 4 \cdot 3{,}14^2 \cdot (0{,}5\text{ с}^{-1})^2 \cdot 1\text{ кг}} = \frac{9 - 5}{30 - 9{,}86} = \frac{4}{20{,}14} \approx 0{,}2\text{ м}$$

Ответ: $R_{\text{min}} = \dfrac{kL - \mu mg}{k - 4\pi^2 \nu^2 m} \approx 0{,}2\text{ м}$\