Тип 26 № 21092

Обоснование:

1. Движение рассматривается в системе отсчёта, связанной с Землёй; данную систему считаем инерциальной (ИСО).
2. Так как пластины и груз перемещаются поступательно, их геометрическими размерами можно пренебречь и описывать их как материальные точки.
3. Движение материальных точек в ИСО описывается с помощью второго закона Ньютона.
4. Сила реакции опоры направлена вертикально и не совершает работы, так как до момента возможного отрыва нижняя пластина покоится на столе. Поэтому в системе тел «пластины и пружина» выполняется закон сохранения механической энергии.

Решение:
Пусть $L$ — длина пружины в недеформированном состоянии, а $k$ — её жёсткость.

1. Равновесие до сброса груза:
   Когда на верхней пластине покоится груз массой $M$, пружина сжата на некоторую величину $x_1$. По второму закону Ньютона сила упругости уравновешивает силу тяжести пластины и груза: $$F_{\text{упр}1} = (M + m)g \implies k x_1 = (M + m)g \implies x_1 = \frac{(M + m)g}{k}$$

2.Условие отрыва нижней пластины:
После резкого горизонтального сбрасывания груза $M$ верхняя пластина начинает совершать вертикальные колебания. Нижняя пластина начнёт отрываться от площадки, если при максимальном подъёме верхней пластины пружина растянется на такую величину $x_2$, что растягивающая сила упругости превысит силу тяжести нижней пластины ($N = 0$): $$F_{\text{упр}2} \ge mg \implies k x_2 \ge mg \implies x_2 \ge \frac{mg}{k}$$ Граничное условие отрыва соответствует минимальной необходимой деформации растяжения: $$x_2 = \frac{mg}{k}$$

3.Закон сохранения механической энергии:
Примем уровень недеформированной пружины за нулевой уровень потенциальной энергии силы тяжести.

В начальный момент движения (сразу после сброса) верхняя пластина находится в крайнем нижнем положении: её скорость $v_1 = 0$, координата $h_1 = -x_1$, а потенциальная энергия упругой деформации равна $\dfrac{k x_1^2}{2}$: $$E_1 = \frac{k x_1^2}{2} - mg x_1$$ В наивысшей точке подъёма скорость пластины вновь обращается в ноль ($v_2 = 0$), координата равна $h_2 = +x_2$, а пружина растянута на величину $x_2$: $$E_2 = \frac{k x_2^2}{2} + mg x_2$$

Приравнивая энергии $E_1 = E_2$: $$\frac{k x_1^2}{2} - mg x_1 = \frac{k x_2^2}{2} + mg x_2$$ Сгруппируем слагаемые: $$\frac{k}{2}(x_1^2 - x_2^2) = mg (x_1 + x_2)$$ $$\frac{k}{2}(x_1 - x_2) = mg \implies x_1 - x_2 = \frac{2mg}{k}$$ Подставим найденные ранее выражения для $x_1$ и $x_2$: $$\frac{(M + m)g}{k} - \frac{mg}{k} \ge \frac{2mg}{k}$$

$$(M + m) - m \ge 2m \implies M \ge 2m$$ Подставим значение массы пластины $m = 200\text{ г} = 0{,}2\text{ кг}$: $$M \ge 2 \cdot 0{,}2\text{ кг} = 0{,}4\text{ кг}$$

Ответ: $M \ge 0{,}4\text{ кг}$