Тип 26 № 21354

Обоснование:

1. Выберем инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землей.
2. Тела движутся поступательно, поэтому их можно рассматривать как материальные точки.
3. Так как нить легкая (невесомая) и трение в блоке отсутствует, сила натяжения нити вдоль всей длины одинакова по модулю: $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T$.
4. Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона. Так как система находится в состоянии покоя, ускорения тел равны нулю: $\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = 0$. Равнодействующая всех сил для каждого тела равна нулю.
5. Для силы трения покоя выполняется соотношение $F_{\text{тр}} \le F_{\text{тр.max}} = \mu N$.

Решение:

1. При минимальном значении массы $M$ висящий груз $m$ стремится перевесить, поэтому груз $M$ стремится соскользнуть вверх вдоль плоскости. Следовательно, сила трения покоя $\vec{F}_{\text{тр}}$ направлена вниз вдоль наклонной плоскости.
2. Запишем условие равновесия (второй закон Ньютона при $\vec{a} = 0$) в векторной форме:
   Для груза массой $M$: $$M\vec{g} + \vec{T}_1 + \vec{F}_{\text{тр}} + \vec{N} = 0$$ Для груза массой $m$: $$m\vec{g} + \vec{T}_2 = 0$$
3. Введём систему координат: ось $Ox_1$ направим вверх вдоль наклонной плоскости, ось $Oy_1$ — перпендикулярно ей вверх, а ось $Oy_2$ — вертикально вниз. Спроецируем уравнения на оси: $$Ox_1\colon\quad T_1 - Mg\sin\alpha - F_{\text{тр}} = 0 \implies T = Mg\sin\alpha + F_{\text{тр}}$$ $$Oy_1\colon\quad N - Mg\cos\alpha = 0 \implies N = Mg\cos\alpha$$ $$Oy_2\colon\quad mg - T_2 = 0 \implies T = mg$$
4. Приравняем выражения для силы натяжения нити: $$mg = Mg\sin\alpha + F_{\text{тр}} \implies F_{\text{тр}} = mg - Mg\sin\alpha$$
5. Так как тело находится в покое, сила трения покоя не превышает максимальной силы трения покоя: $$F_{\text{тр}} \le \mu N$$ $$mg - Mg\sin\alpha \le \mu Mg\cos\alpha$$ Сократим на $g$: $$m \le M(\sin\alpha + \mu\cos\alpha) \implies M \ge \frac{m}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}$$ Следовательно, минимальная масса равна: $$M_{\min} = \frac{m}{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}$$ Подставим числовые значения ($\sin 30^{\circ} = 0{,}5$; $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866$): $$M_{\min} = \frac{1}{0{,}5 + 0{,}2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{0{,}5 + 0{,}1 \cdot 1{,}732} = \frac{1}{0{,}6732} \approx 1{,}5\text{ кг}$$

Ответ: $1{,}5\text{ кг}$