Тип 6 № 21446

1. В начальный момент времени груз отклонили от положения равновесия. По рисунку видно, что это положение характеризуется отрицательной координатой (слева от нуля). Так как груз начинает движение из состояния покоя, то зависимость координаты $x$ от времени будет иметь вид:

$$x = x(t) = -x_0 \cos(\omega t),$$

где $x_0$ — амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота. График такой зависимости представляет собой косинусоиду (или перевернутую синусоиду, в зависимости от начальной фазы), начинающуюся с отрицательного минимума, что соответствует графику Б.

2. Проекцию скорости $v_x$ можно найти с помощью производной по координате, то есть:

$$v_x = x'(t) = (-x_0 \cos(\omega t))' = x_0 \omega \sin(\omega t).$$

График зависимости проекции скорости $v_x$ от времени $t$ имеет вид синусоиды, начинающейся с нуля и уходящей в положительную область. В данном задании этот график не представлен, но он является промежуточным для дальнейших расчетов.

3. Кинетическая энергия $E_k$ определяется по формуле:

$$E_k = \frac{mv_x^2}{2} = \frac{m x_0^2 \omega^2}{2} \sin^2(\omega t),$$

где $m$ — масса грузика. Так как $\sin^2(\omega t)$ принимает только неотрицательные значения, график $E_k(t)$ представляет собой волну, находящуюся полностью выше оси времени. Однако в начальный момент времени скорость равна нулю, поэтому график стартует из точки 0 и не соответствует графику А .

4. Потенциальная энергия $E_n$ определяется по формуле:

$$E_n = mgh,$$

где $g$ — модуль ускорения свободного падения, $h$ — высота грузика относительно начала отсчета.

Высоту грузика можно выразить через длину нити следующим образом:

$$h = l - l \cos \alpha = l(1 - \cos \alpha),$$

где $l$ — длина нити, $\alpha$ — угол отклонения нити от вертикали.

В силу того, что рассматриваемые колебания происходят при малых углах $\alpha$, справедливо разложение косинуса:

$$h \approx l\left(1 - 1 + \frac{\alpha^2}{2}\right) = \frac{l}{2} \alpha^2.$$

Тогда потенциальная энергия будет равняться:

$$E_n = \frac{mgl}{2} \alpha^2.$$

Сам угол $\alpha$ тоже зависит от времени. Как можно заметить, в положении равновесия (когда нить вертикальна) угол отклонения нулевой, но груз в этот момент обладает максимальной скоростью. Пусть начальный угол равен $\alpha_0$, тогда зависимость угла $\alpha$ от времени $t$ будет иметь вид:

$$\alpha = \alpha(t) = \alpha_0 \cos(\omega t).$$

Значит потенциальная энергия $E_n$ равняется:

$$E_n = \frac{mgl}{2} \alpha_0^2 \cos^2(\omega t).$$

График этой зависимости также представляет собой волну, не опускающуюся ниже нуля (так как $\cos^2(\omega t)$ всегда неотрицателен). По форме он идентичен графику А, так как в самом начале маятник отклонен в крайнее положение, а значит находится на максимальной высоте и имеет максимальную потенциальную энергию.

Таким образом, графику А соответствует потенциальная энергия (вариант 4), а графику Б соответствует координата (вариант 1).