Тип 15 № 21455

А) Кинетическая энергия. Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу, играет роль центростремительной силы. Приравняем её к произведению массы на центростремительное ускорение: $$qvB = \frac{mv^2}{R}.$$ Из этого выражения можно выразить скорость частицы: $$v = \frac{qBR}{m}.$$

Кинетическая энергия определяется стандартной формулой $E_k = \frac{mv^2}{2}$. Подставим в неё выражение для скорости: $$E_k = \frac{m}{2} \cdot \left(\frac{qBR}{m}\right)^2 = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}.$$

Теперь сравним энергии для двух частиц при одинаковых (B) и (R). Для альфа-частицы $q_\alpha = 2e$, $m_\alpha = 4m_p$: $$E_{k\alpha} = \frac{(2e)^2 B^2 R^2}{2 \cdot (4m_p)} = \frac{4e^2 B^2 R^2}{8m_p} = \frac{e^2 B^2 R^2}{2m_p}.$$

Для протона $q_p = e$, $m_p$: $$E_{kp} = \frac{e^2 B^2 R^2}{2m_p}.$$

Мы видим, что выражения полностью совпадают. Значит, кинетическая энергия не изменяется (вариант 3).

Б) Период обращения. Период — это время одного полного оборота. Его можно найти как отношение длины окружности к скорости: $$T = \frac{2\pi R}{v}.$$ Подставим в эту формулу выражение для скорости $v = \frac{qBR}{m}$: $$T = \frac{2\pi R}{\frac{qBR}{m}} = \frac{2\pi m}{qB}.$$

Обратите внимание, что радиус (R) сократился, значит, период зависит только от свойств самой частицы (массы (m) и заряда (q)) и величины магнитного поля (B).

Рассчитаем периоды для обеих частиц. Для альфа-частицы: $$T_\alpha = \frac{2\pi \cdot 4m_p}{2eB} = \frac{4\pi m_p}{eB}.$$

Для протона: $$T_p = \frac{2\pi m_p}{eB}.$$

Сравнивая полученные результаты, видим, что $T_p$ ровно в 2 раза меньше, чем $T_\alpha$. Следовательно, период обращения уменьшается (вариант 2).