Тип 21 № 21461

Проанализируем процессы. Пусть $p_1, V_1, T_1$ — соответственно давление, объем и температура газа в точке 1, $i$ — номер точки.

Процесс 1-2: объем постоянен, по закону Шарля: $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \implies p_2 = p_1 \frac{T_2}{T_1}.$$ Пусть $p_1 = p_0$. По графику $T_1 = 2T_0, T_2 = 4T_0, V_1 = 3V_0$, тогда: $$p_2 = p_0 \frac{4T_0}{2T_0} = 2p_0.$$

Процесс 2-3: изотермический, по закону Бойля-Мариотта: $$p_2 V_2 = p_3 V_3 \implies p_3 = p_2 \frac{V_2}{V_3}.$$ Из графика: $V_2 = 3V_0, V_3 = 6V_0$, тогда: $$p_3 = p_2 \frac{3V_0}{6V_0} = \frac{2p_0}{2} = p_0.$$

Процесс 3-1: Для его анализа воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона: $$pV = \nu R T,$$ где $\nu$ — количество вещества. Так как количество газа постоянно, то: $$\frac{pV}{T} = \nu R = const.$$ В процессе 3-1: $V = \alpha T$, где $\alpha$ — некоторый коэффициент. Подставим в предыдущее уравнение: $$\frac{p \alpha T}{T} = p \alpha = const.$$ То есть давление в этом процессе постоянно ($p = p_0$).

Построение графика цикла в координатах $p-V$:

• Процесс 1-2: вертикальный отрезок (изохора) от точки 1 с координатами $(3V_0; p_0)$ до точки 2 с координатами $(3V_0; 2p_0)$.
• Процесс 2-3: гипербола (изотерма) от точки 2 до точки 3 с координатами $(6V_0; p_0)$.
• Процесс 3-1: возвращение в точку 1 по горизонтальной прямой (изобара) при $p = p_0$.

Сравнение работ: Работа газа численно равна площади под графиком в координатах $p-V$.

• Работа газа в процессе 2-3 ($A_{23}$) — это площадь под гиперболой от $V=3V_0$ до $V=6V_0$.
• Модуль работы газа в процессе 3-1 ($|A_{31}|$) — это площадь под горизонтальной прямой от $V=6V_0$ до $V=3V_0$.

Так как площадь под графиком 2-3 больше, чем площадь под графиком 3-1 (гипербола всегда лежит выше горизонтальной прямой $p=p_0$ в этом диапазоне объемов), значит, работа газа в процессе 2-3 больше, чем модуль работы газа в процессе 3-1: $$A_{23} > |A_{31}|.$$