Тип 23 № 21648

Модуль напряжённости электрического поля, создаваемого точечным зарядом $q$ в точке, находящейся на расстоянии $r$ от него, определяется формулой: $$E = k \frac{|q|}{r^2},$$ где $k$ — коэффициент пропорциональности (закон Кулона).

Расположим заряды в вершинах квадрата и проанализируем направления векторов напряжённости, создаваемых каждым из зарядов в центре квадрата (точка $A$). Вектор напряжённости поля положительного заряда направлен от заряда, а отрицательного — к заряду.

Как видно из рисунка, векторы напряжённости $\vec{E}_2$ и $\vec{E}_4$ лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Их модули равны, так как заряды одинаковы по модулю и находятся на равных расстояниях от центра. Следовательно, их суммарное действие равно нулю.

Тогда, согласно принципу суперпозиции полей, результирующая напряжённость в центре квадрата будет создаваться только зарядами $+Q$ и $-Q$, расположенными на другой диагонали: $$\vec{E}_{\text{рез}} = \vec{E}_1 + \vec{E}_3$$ Так как эти векторы также сонаправлены (оба указывают в сторону отрицательного заряда), модуль результирующей напряжённости равен их сумме: $$E_{\text{рез}} = E_1 + E_3 = 2E_0 = 2 \cdot k \frac{Q}{r^2} = \frac{2kQ}{r^2}$$

Выразим расстояние $r$ от центра квадрата до его вершины через сторону квадрата $a$: $$r = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Подставим выражение для $r$ в формулу результирующей напряжённости и выразим из полученного уравнения искомый модуль заряда $Q$: $$E_{\text{рез}} = \frac{2kQ}{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \frac{4kQ}{a^2}$$ $$Q = \frac{E_{\text{рез}} \cdot a^2}{4k}$$

Произведём вычисления, подставив числовые значения: $$Q = \frac{360 \text{ В/м} \cdot (0,4 \text{ м})^2}{4 \cdot 9 \cdot 10^9 \text{ Н}\cdot\text{м}^2/\text{Кл}^2} = 1,6 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$$