Тип 21 № 21670

Решение:

Для анализа теплообмена в каждом процессе воспользуемся первым началом термодинамики: $$Q_{ij} = A_{ij} + \Delta U_{ij},$$ где $Q_{ij}$ – количество теплоты, переданное газу, $A_{ij}$ – работа, совершаемая газом, $\Delta U_{ij}$ – изменение его внутренней энергии.

Связь между давлением и температурой газа выражается через уравнение состояния: $$p = \frac{\rho RT}{M} \Rightarrow T = \frac{pM}{\rho R}.$$

Из графика видно, что линия процесса 1–2 проходит через начало координат, то есть давление прямо пропорционально плотности ($\frac{p}{\rho} = const$). Это означает, что температура газа остаётся постоянной: $$T = const.$$

Процесс 1–2 (изотермический). Так как температура не изменяется ($\Delta T_{12} = 0$), внутренняя энергия остаётся неизменной: $$\Delta U_{12} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{12} = 0.$$ По закону Бойля–Мариотта ($pV = const$) при увеличении давления объём газа уменьшается ($\Delta V_{12} < 0$), значит, работа газа отрицательна: $$A_{12} < 0.$$ Подставив это в первое начало термодинамики, получаем: $$Q_{12} = A_{12} < 0.$$ Следовательно, в процессе 1–2 газ отдаёт теплоту.

Процесс 2–3 (изобарный). Плотность газа определяется формулой $\rho = \frac{m}{V}$. Так как плотность уменьшается, объём газа увеличивается ($\Delta V_{23} > 0$), а давление остаётся неизменным. Согласно закону Гей–Люссака $\frac{V}{T} = const$, увеличение объёма сопровождается ростом температуры ($\Delta T_{23} > 0$).

Вследствие этого внутренняя энергия газа возрастает: $$\Delta U_{23} = \frac{3}{2} \nu R \Delta T_{23} > 0.$$ Работа газа в этом процессе также положительна, так как газ расширяется: $$A_{23} > 0.$$ Исходя из первого начала термодинамики, сумма положительных величин даёт положительное количество теплоты: $$Q_{23} = A_{23} + \Delta U_{23} > 0.$$ Следовательно, в процессе 2–3 газ получает теплоту.