Тип 26 № 21675

Обоснование:

1. Будем рассматривать движение в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй.
2. Снаряд и его осколки можно считать материальными точками, поскольку их геометрическими размерами можно пренебречь по сравнению с дальностью полёта.
3. В момент разрыва применим закон сохранения импульса: время взрыва очень мало, поэтому импульс внешних сил (силы тяжести) не успевает существенно изменить суммарный импульс системы.
4. После взрыва на осколки действует только сила тяжести, так как сопротивлением воздуха мы пренебрегаем.

Дано:
$v_0 = 200$ м/с
$\alpha = 60^{\circ}$
$m_1 = 1,5$ кг
$v_1 = 200$ м/с
$m_2 = 1$ кг
Найти: $s_2 - ?$

Выполним схематичный рисунок, отражающий разрыв снаряда на осколки. Направим ось $Ox$ горизонтально вдоль начального движения снаряда, а ось $Oy$ — вертикально вверх.

В наивысшей точке траектории вертикальная составляющая скорости равна нулю, а горизонтальная определяется выражением: $$v = v_0 \cos \alpha.$$

Суммарная масса снаряда перед взрывом составляет: $$M = m_1 + m_2.$$

Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось $Ox$ в момент взрыва: $$Mv = m_1v_1 - m_2v_2,$$ где $v_2$ — модуль скорости второго осколка после разрыва. Знак «минус» в уравнении означает, что второй осколок движется в противоположную сторону по сравнению с первоначальным движением снаряда.

Из этого уравнения выразим скорость второго осколка: $$v_2 = \frac{m_1v_1 - (m_1 + m_2)v_0 \cos \alpha}{m_2}.$$

Подставим числовые значения: $$v_2 = \frac{1,5 \cdot 200 - (1,5 + 1) \cdot 200 \cdot \cos 60^{\circ}}{1} = 50 \text{ м/с}.$$

Рассмотрим вертикальное направление. До взрыва вертикальный импульс равен нулю, так как снаряд находится в верхней точке траектории. Первый осколок летит горизонтально, значит, его вертикальная скорость равна нулю. Следовательно, и вертикальная скорость второго осколка сразу после взрыва равна нулю.

Высота верхней точки траектории: $$h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}.$$

Второй осколок начинает свободное падение с высоты $h$ без начальной вертикальной скорости. Время падения найдём из уравнения равнопеременного движения: $$h = \frac{gt^2}{2},$$ откуда $$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}.$$

Подставим значения: $$t = \frac{200 \cdot \sin 60^{\circ}}{10} = 10\sqrt{3} \text{ с}.$$

Искомое расстояние от точки на земле под местом взрыва до места падения второго осколка: $$s_2 = v_2 \cdot t = 50 \cdot 10\sqrt{3} = 500\sqrt{3} \text{ м} \approx 866 \text{ м}.$$