Задание 26 № 23472: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

На гладком столе покоится горка с двумя вершинами высотой h = 10 м и 2,5h. На вершину высотой 2,5h кладут шайбу. От небольшого толчка систему приводят в движение, при этом шайба движется влево не отрываясь от поверхности горки, а горка постепенно вправо. Найдите отношение массы шайбы к массе горки, если на вершине высотой h скорость шайбы равна v = 10 м/с. Горка гладкая, сопротивлением воздуха пренебречь. Какие законы вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

На гладком столе покоится горка с двумя вершинами. На большую вершину кладут шайбу

Решение:

Решение:

Обоснование

Выберем инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.
Размеры шайбы малы по сравнению с размерами горки, горка движется поступательно, поэтому шайбу и горку будем рассматривать как материальные точки.
Горка и шайба находятся на гладкой поверхности стола. Шайба может скользить по горке без трения. На шайбу действуют сила тяжести и сила нормальной реакции опоры. Обе силы перпендикулярны скорости шайбы, поэтому их работа равна нулю. Следовательно, к шайбе можно применить закон сохранения механической энергии.
Суммарная проекция внешних сил на горизонтальную ось равна нулю. Сила тяжести и реакция опоры направлены вертикально, поэтому для системы выполняется закон сохранения импульса в горизонтальном направлении.

Решение:

Пусть (m) — масса шайбы, (M) — масса горки, (V) — скорость горки.

Потенциальная энергия тела массой (m), находящегося на высоте (h), определяется формулой:

$E_p = mgh.$

Кинетическая энергия тела массой (m), движущегося со скоростью (v), равна:

$E_k = \frac{mv^2}{2}.$

На систему действуют внешние силы: сила тяжести и сила реакции опоры. Поскольку обе они направлены вертикально, запишем закон сохранения импульса для горизонтальной оси. Начальное положение примем за начало движения, а положение шайбы на второй вершине горки — за конечное. Изначально оба тела покоились:

$\vec{0} = \vec{p}_m + \vec{p}_M;$

$0 = mv - MV.$

Здесь $p_m$ — импульс шайбы, $p_M$ — импульс горки.

Для системы «горка + шайба» также выполняется закон сохранения механической энергии:

$2{,}5mgh = mgh + \frac{mv^2}{2} + \frac{MV^2}{2} \quad (1)$

Из закона сохранения импульса выразим скорость горки:

$V = \frac{mv}{M} \quad (2)$

Подставим выражение (2) в уравнение (1) и умножим обе части на 2:

$5mgh = 2mgh + mv^2 + \frac{m^2v^2}{M}$

Разделим обе части равенства на (m):

$3gh = v^2 + \frac{mv^2}{M}$

Теперь найдём отношение массы шайбы к массе горки:

$\frac{m}{M} = \frac{3gh-v^2}{v^2} = \frac{3gh}{v^2}-1$

Подставим числовые значения:

$\frac{m}{M} = \frac{3\cdot 10\text{ м/с}^2\cdot 10\text{ м}}{100\text{ м}^2/\text{с}^2}-1=2$