Тип 26 № 23473

Решение:

Будем рассматривать движение в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй. Размеры шарика малы по сравнению с размерами пружины и дальностью полёта, поэтому будем считать его материальной точкой.

Сначала определим скорость шарика (v_0) при вылете из ствола ружья. Во время движения по стволу на шарик действуют сила реакции опоры (\vec{N}), сила упругости (\vec{F}_{упр}) и сила тяжести (m\vec{g}).

Поскольку сила реакции опоры перпендикулярна скорости движения шарика, её работа равна нулю. Силы тяжести и упругости являются потенциальными, поэтому для шарика выполняется закон сохранения механической энергии:

$$E_0 = \frac{mv_0^2}{2} + mgb\sin\alpha.$$

Выразим квадрат скорости шарика при вылете из ствола:

$$v_0^2 = \frac{2}{m}(E_0-mgb\sin\alpha).$$

После вылета шарик движется под действием только силы тяжести. Следовательно, его движение можно описать с помощью второго закона Ньютона:

$$m\vec{g}=m\vec{a}\Rightarrow \vec{a}=\vec{g}.$$

Воспользуемся формулами кинематики для равноускоренного движения:

$$\begin{cases} x(t)=v_0\cos\alpha\cdot t,\\ y(t)=v_0\sin\alpha\cdot t-\dfrac{gt^2}{2}. \end{cases}$$

Обозначим время полёта шарика через $\tau$. Поскольку шарик падает на ту же высоту, с которой вылетел, получаем:

$$\begin{cases} L=v_0\cos\alpha\cdot\tau,\\ 0=v_0\sin\alpha\cdot\tau-\dfrac{g\tau^2}{2}. \end{cases}$$

Из второго уравнения выразим время полёта:

$$\tau=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}.$$

Подставим полученное выражение в первое уравнение:

$$L=v_0\cos\alpha\cdot\frac{2v_0\sin\alpha}{g}=\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}.$$

Теперь подставим найденное ранее выражение для квадрата скорости:

$$L=\frac{2\sin 2\alpha}{mg}(E_0-mgb\sin\alpha).$$

Подставим числовые значения:

$$L=\frac{2\sin60^\circ}{0{,}05\cdot10} (0{,}41-0{,}05\cdot10\cdot0{,}5\cdot\sin30^\circ) \approx 1\text{ м}.$$