Задание 26 № 23500: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

В установке, изображённой на рисунке, грузик A соединён перекинутой через блок нитью с бруском B, лежащим на горизонтальной поверхности трибометра, закреплённого на столе. Грузик отводят в сторону, приподнимая его на некоторую высоту $h$ , и отпускают. Какую величину должна превзойти эта высота, чтобы брусок сдвинулся с места в тот момент, когда грузик проходит нижнюю точку траектории? Масса грузика $m$ , масса бруска $M$ , длина свисающей части нити $L$ , коэффициент трения между бруском и поверхностью $\mu$ . Трением в блоке, а также размерами блока пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Грузик A на нити, перекинутой через блок, соединён с бруском B на горизонтальной поверхности трибометра; грузик отведён вверх на высоту h относительно нижней точки траектории

Решение:

Обоснование

Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землёй, которую будем считать инерциальной (ИСО).
Размеры грузика и бруска малы по сравнению с размерами установки, поэтому будем описывать тела моделями материальных точек.
Для материальных точек в ИСО применим второй закон Ньютона.
Применим закон сохранения энергии для описания движения тел, так как единственной не потенциальной силой является сила натяжения нити, действующая на грузик. Эта сила перпендикулярна вектору скорости в любой момент движения, а значит ее мощность и работа равняются нулю, полная механическая энергия тела не изменяется. За нулевой уровень потенциальной энергии выберем уровень нижней точки грузика.
Так как грузик будет двигаться по окружности, то он будет обладать центростремительным ускорением, направленным к центру окружности вращения.
Так как нить невесома, а блок идеален, силы натяжения действующие на грузик и брусок равны по модулю $T_1 = T_2 = T$ .

Решение

В нижней точке траектории грузик движется со скоростью $\vec v$ . Его центростремительное ускорение $\vec a$ направлено вдоль нити к центру окружности и равно $\dfrac{v^2}{L}$ .

Запишем второй закон Ньютона в проекциях: для бруска на вертикальную и горизонтальную оси, для грузика на вертикальную ось:

$\begin{cases} Mg = N,\\ T = F_{\text{тр}},\\ T - mg = m\dfrac{v^2}{L}. \end{cases}$

Сила трения равна $F_{\text{тр}} = \mu N$ . Подставив её в систему, получим:

$\mu Mg = m\left(g + \frac{v^2}{L}\right).$

Для грузика, который опускается с высоты $h$ в нижнюю точку, запишем закон сохранения энергии:

$mgh = \frac{mv^2}{2} \;\Leftrightarrow\; v^2 = 2gh.$

Брусок сдвинется, если сила натяжения нити превысит максимальную силу трения. Для грузика в нижней точке это условие имеет вид:

$m\left(g + \frac{2gh}{L}\right) \ge \mu Mg$ $h \ge \left(\frac{\mu M}{m} - 1\right)\frac{L}{2}.$