Задание 26 № 23503: Законы сохранения — ЕГЭ по физике

Шар массой 1 кг, подвешенный на нити длиной 90 см, отводят от положения равновесия на угол $60^\circ$ и отпускают. В момент прохождения шара через положение равновесия в него попадает летящая навстречу пуля, которая пробивает его и продолжает двигаться горизонтально. Определите модуль изменения импульса пули в результате попадания в шар, если он, продолжая движение в прежнем направлении, отклоняется на угол $39^\circ$ . (Массу шара считать неизменной; диаметр шара пренебрежимо мал по сравнению с длиной нити; $\cos 39^\circ = \dfrac{7}{9}$ .) Сопротивлением воздуха пренебречь. Обоснуйте применимость законов, используемых при решении задачи.

Шар на нити отклонён на угол 60° от вертикали; навстречу ему в нижней точке траектории горизонтально летит пуля

Решение:

Обоснование

Введём инерциальную систему отсчёта (ИСО), связанную с Землёй.
Размеры шарика малы по сравнению с размерами нити, а пуля ещё меньше, поэтому будем описывать шарик и пулю моделью материальной точки.
Будем считать, что время соударения шарика и пули мало, а значит, нить за это время не успевает заметно отклониться, поэтому в момент столкновения все силы направлены вертикально. Следовательно, в ИСО при попадании пули в шарик сохраняется импульс горизонтальной составляющей системы тел «шарик $M$ и пуля $m$ ».
При движении тел по вертикальной окружности после попадания пули в шарик механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий тел:

$E_{\text{мех}} = E_{\text{кин}} + E_{\text{пот}}.$

Изменение механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу. В данном случае такой силой является только сила натяжения нити $\vec T$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем). В любой точке траектории она перпендикулярна скорости, поэтому её работа равна нулю, и механическая энергия сохраняется.

Решение

Движение шара вниз. За нулевой уровень потенциальной энергии возьмём нижнюю точку. Шар опускается на высоту $h = l(1 - \cos\alpha)$ , и по закону сохранения энергии

$Mgl(1 - \cos\alpha) = \frac{Mv_0^2}{2} \;\Rightarrow\; v_0 = \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)},$

где $v_0$ — скорость шара в нижней точке.

Удар. Направим горизонтальную ось по скорости шара. Пуля летит навстречу, поэтому проекция её скорости отрицательна. Пусть $v_1$ и $v_2$ — модули скорости пули до и после удара, $u$ — скорость шара сразу после удара. Закон сохранения импульса в проекции на эту ось:

$Mv_0 - mv_1 = Mu - mv_2.$

Подъём шара после удара. Закон сохранения энергии до максимального отклонения на угол $\beta$ :

$\frac{Mu^2}{2} = Mgl(1 - \cos\beta) \;\Rightarrow\; u = \sqrt{2gl(1 - \cos\beta)}.$

Изменение импульса пули. Из закона сохранения импульса

$\Delta p = m(v_2 - v_1) = M(u - v_0 ),$

то есть

$\Delta p = M\left(\sqrt{2gl(1 - \cos\beta)} - \sqrt{2gl(1 - \cos\alpha)}\right) = 1 \cdot \left(\sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}9 \cdot (1- \tfrac{7}{9})} - \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0{,}9 \cdot \left(1 - \tfrac{1}{2}\right)}\right) = - 1 \text{ кг}\cdot\text{м/с}.$

Знак показывает лишь направление оси, а в задаче нужен модуль: $|\Delta p| = 1$ кг·м/с.