Предприятие выпускает партии изделий. Каждая партия получает уникальный код из 17 символов. Каждый символ кода может быть любой строчной или заглавной латинской буквой. Все изделия в партии получают последовательные номера от 1 до общего числа изделий в партии.

Запись о каждом изделии заносится в информационную систему. Запись содержит код изделия и некоторую дополнительную информацию.

Код изделия состоит из кода партии и номера изделия в партии. Для записи кода партии используется посимвольное кодирование, каждый символ кодируется одинаковым минимально возможным количеством битов. Номер изделия записывается как целое число, для записи каждого номера используется одинаковое минимально возможное количество битов. Для записи кода изделия в целом используется минимально возможное целое количество байтов.

Для записи дополнительной информации о каждом изделии требуется 50 байт.

Известно, что для хранения информации обо всех изделиях одной партии используется не более 90 Кбайт. Какое наибольшее количество изделий может быть в партии?

Question

Предприятие выпускает партии изделий. Каждая партия получает уникальный код из 17 символов. Каждый символ кода может быть любой строчной или заглавной латинской буквой. Все изделия в партии получают последовательные номера от 1 до общего числа изделий в партии.

Запись о каждом изделии заносится в информационную систему. Запись содержит код изделия и некоторую дополнительную информацию.

Код изделия состоит из кода партии и номера изделия в партии. Для записи кода партии используется посимвольное кодирование, каждый символ кодируется одинаковым минимально возможным количеством битов. Номер изделия записывается как целое число, для записи каждого номера используется одинаковое минимально возможное количество битов. Для записи кода изделия в целом используется минимально возможное целое количество байтов.

Для записи дополнительной информации о каждом изделии требуется 50 байт.

Известно, что для хранения информации обо всех изделиях одной партии используется не более 90 Кбайт. Какое наибольшее количество изделий может быть в партии?

Решение:

Код партии: мощность алфавита $N_1 = 52$ (строчные и заглавные).
Глубина кодирования: $2^5 = 32 < 52$ , $2^6 = 64 \ge 52$ $\Rightarrow$ $b_1 = 6$ бит.
Длина кода партии: $L_1 = 17$ символов.
Объём кода партии в битах: $17 \cdot 6 = 102$ бита.
Пусть $M$ — количество изделий в партии.
Номер изделия: числа от $1$ до $M$ .
Глубина кодирования номера: $b_2 = \lceil \log_2 M \rceil$ бит.
Объём кода изделия в битах: $102 + b_2$ бит.
В байтах: $\left\lceil \dfrac{102 + b_2}{8} \right\rceil$ .
Дополнительная информация: $50$ байт на изделие.
Объём записи об одном изделии: $\left\lceil \dfrac{102 + b_2}{8} \right\rceil + 50$ байт.
Для $M$ изделий: $M \cdot \left( \left\lceil \dfrac{102 + b_2}{8} \right\rceil + 50 \right) \le 90 \cdot 1024 = 92\,160$ байт.
Подбираем $M$ и $b_2 = \lceil \log_2 M \rceil$ :

$b_2 = 10$ : $\left\lceil \dfrac{102+10}{8} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{112}{8} \right\rceil = 14$ .
Сумма $14 + 50 = 64$ .
$M \le \dfrac{92\,160}{64} = 1440$ .
При $b_2=10$ максимальное $M$ может быть до $2^{10}=1024$ , но $1024 < 1440$ , значит, можно взять $M=1024$ .
При $M=1024$ $b_2=10$ , объём: $1024 \cdot 64 = 65\,536 < 92\,160$ .
$b_2 = 11$ : $\left\lceil \dfrac{102+11}{8} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{113}{8} \right\rceil = \lceil 14,125 \rceil = 15$ .
Сумма $15 + 50 = 65$ .
$M \le \dfrac{92\,160}{65} \approx 1417,8$ .
При $b_2=11$ максимальное $M$ может быть до $2^{11}=2048$ , но ограничение $M \le 1417$ .
Берём $M = 1417$ , проверяем: $b_2 = \lceil \log_2 1417 \rceil = 11$ (так как $2^{10}=1024<1417$ , $2^{11}=2048$ ), подходит.
Объём: $1417 \cdot 65 = 92\,105 < 92\,160$ .
$b_2 = 12$ : $\left\lceil \dfrac{102+12}{8} \right\rceil = \left\lceil \dfrac{114}{8} \right\rceil = \lceil 14,25 \rceil = 15$ .
Сумма $15 + 50 = 65$ , но при $b_2=12$ $M \ge 2049$ , тогда $65 \cdot 2049 > 92\,160$ — не подходит.

Наибольшее $M$ , удовлетворяющее условию: $M = 1417$ .

Ответ:

1417

Accepted Answer

1417