Тип 11 № 17299

1. Найдём минимальное количество бит для кодирования одного символа:

Так как $M = 8200$, то: $$2^{12} = 4096 < 8200 \leqslant 2^{13} = 8192 < 8200 \leqslant 2^{14} = 16384$$

Проверим внимательнее: $2^{13} = 8192$, а у нас $M = 8200$, значит $8192 < 8200$, поэтому: $$i_{\text{симв}} = 14 \text{ бит}$$ (поскольку $2^{13} = 8192$ не хватает для кодирования $8200$ символов, нужно $2^{14} = 16384$)

2. Пусть $L$ — длина серийного номера (количество символов).

Тогда количество бит для одного номера: $$i_{\text{ном}} = i_{\text{симв}} \times L = 14L \text{ бит}$$

3. Количество байт для одного номера:

Так как байт — это $8$ бит, то: $$V_{\text{ном}} = \left\lceil \frac{14L}{8} \right\rceil = \left\lceil \frac{7L}{4} \right\rceil \text{ байт}$$

4. Общий объём для $K = 835$ номеров:

$$V_{\text{общ}} = 835 \times \left\lceil \frac{7L}{4} \right\rceil \text{ байт}$$

По условию $V_{\text{общ}} > 156$ Кбайт. Переведём в байты: $$156 \text{ Кбайт} = 156 \times 1024 = 159\,744 \text{ байт}$$

Таким образом: $$835 \times \left\lceil \frac{7L}{4} \right\rceil > 159\,744$$

5. Найдём минимальное целое $L$, удовлетворяющее неравенству:

$$\left\lceil \frac{7L}{4} \right\rceil > \frac{159\,744}{835}$$

Вычислим правую часть: $$\frac{159\,744}{835} \approx 191,\!31$$

Следовательно: $$\left\lceil \frac{7L}{4} \right\rceil \geqslant 192$$

6. Решаем неравенство:

$$\frac{7L}{4} > 191 \quad \Rightarrow \quad 7L > 764 \quad \Rightarrow \quad L > 109,\!14...$$

$$\frac{7L}{4} \leqslant 192 \quad \Rightarrow \quad 7L \leqslant 768 \quad \Rightarrow \quad L \leqslant 109,\!71...$$

Проверим целые значения $L$:

$$\begin{array}{c|c|c|c} L & \dfrac{7L}{4} & \left\lceil \dfrac{7L}{4} \right\rceil & 835 \times \left\lceil \dfrac{7L}{4} \right\rceil \\ \hline 109 & \dfrac{763}{4} = 190,\!75 & 191 & 835 \times 191 = 159\,485 < 159\,744 \\[4mm] 110 & \dfrac{770}{4} = 192,\!5 & 193 & 835 \times 193 = 161\,155 > 159\,744 \end{array}$$

При $L = 109$: $$835 \times 191 = 159\,485 < 159\,744 \quad \text{(не подходит, так как нужно > 156 Кбайт)}$$

При $L = 110$: $$835 \times 193 = 161\,155 > 159\,744 \quad \text{(подходит)}$$

7. Проверим $L = 109$ с округлением вверх:

$\dfrac{7 \times 109}{4} = \dfrac{763}{4} = 190,\!75$, округление вверх даёт $191$ байт на номер.

8. Минимальная длина номера:

$$\boxed{L = 110}$$