Задание №20 КИМ ЕГЭ 2027 года. Теория чисел. Часть 2: свойства чисел и средние значения

Во второй части статей по 20 номеру разберём два больших направления задания №20:

• свойства цифр и натуральных чисел;
• задачи на среднее арифметическое.

На первый взгляд эти задачи совершенно разные. В одной нужно переставлять цифры двузначных чисел, в другой — исследовать произведение цифр четырёхзначного числа, в третьей — пересчитывать средний балл после перехода ученика.

Но основные идеи повторяются:

• правильно обозначить неизвестные;
• заменить словесное условие алгебраическим равенством;
• использовать целочисленность и делимость;
• получить оценку;
• доказать невозможность через противоречие;
• для положительного ответа построить пример;
• для экстремума доказать границу и её достижимость.

В задании №20 недостаточно найти правдоподобный ответ. Каждый вывод должен опираться на равенство, неравенство, делимость или явно построенный пример.

Как записывать число через его цифры

Двузначное число с цифрой десятков $a$ и цифрой единиц $b$ имеет вид:

$$\overline{ab}=10a+b.$$

После перестановки цифр получается:

$$\overline{ba}=10b+a.$$

Например:

$$17=10\cdot1+7,$$

а после перестановки цифр:

$$71=10\cdot7+1.$$

Четырёхзначное число с цифрами $a$, $b$, $c$ и $d$ записывается так:

$$\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d.$$

При этом:

$$a\in\{1,2,\ldots,9\},$$

а остальные цифры могут принимать значения от $0$ до $9$, если условие не вводит дополнительных ограничений.

Важно различать:

$$\overline{abcd}$$

и

$$abcd.$$

Первая запись означает четырёхзначное число, а вторая без черты обычно означает произведение:

$$a\cdot b\cdot c\cdot d.$$

Суммы цифр нескольких чисел

Пусть записаны двузначные числа:

$$10a_1+b_1,\quad 10a_2+b_2,\quad\ldots,\quad 10a_n+b_n.$$

Обозначим сумму первых цифр через:

$$A=a_1+a_2+\ldots+a_n,$$

а сумму вторых цифр — через:

$$B=b_1+b_2+\ldots+b_n.$$

Тогда сумма исходных чисел:

$$10A+B.$$

После перестановки цифр сумма становится равной:

$$10B+A.$$

Вместо исследования каждого числа отдельно мы получили всего две переменные.

Удачное обозначение может превратить длинное условие о множестве чисел в систему из двух уравнений.

Задача о перестановке цифр

Условие. На доске написали несколько, не обязательно различных, двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной $363$. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры.

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в $4$ раза больше суммы исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в $2$ раза больше суммы исходных чисел?

в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Модель задачи

Пусть:

$$A$$

— сумма цифр десятков всех исходных чисел, а

$$B$$

— сумма цифр единиц.

Сумма исходных чисел:

$$10A+B=363.$$

После перестановки цифр сумма равна:

$$10B+A.$$

Пункт а: пример с увеличением в четыре раза

По условию новая сумма должна быть равна:

$$4\cdot363=1452.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 10A+B=363,\\ A+10B=1452. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$11A+11B=1815.$$

$$A+B=165.$$

Выразим:

$$B=165-A.$$

Подставим в первое уравнение:

$$10A+165-A=363.$$

$$9A=198.$$

$$A=22.$$

Тогда:

$$B=165-22=143.$$

Нужно построить числа, у которых сумма цифр десятков равна $22$, а сумма цифр единиц — $143$.

Подходит набор из двадцати чисел $17$ и одного числа $23$.

Проверим исходную сумму:

$$20\cdot17+23=340+23=363.$$

После перестановки цифр получаются двадцать чисел $71$ и одно число $32$:

$$20\cdot71+32=1420+32=1452.$$

Действительно:

$$1452=4\cdot363.$$

Ответ: например, двадцать чисел $17$ и одно число $23$.

Пункт б: возможно ли увеличение в два раза

Если новая сумма в два раза больше исходной, то:

$$10B+A=726.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 10A+B=363,\\ A+10B=726. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$11A+11B=1089.$$

$$A+B=99.$$

Следовательно:

$$B=99-A.$$

Подставляем в первое уравнение:

$$10A+99-A=363.$$

$$9A=264.$$

$$A=\frac{264}{9}=\frac{88}{3}.$$

Но $A$ — сумма цифр, поэтому она должна быть целым числом.

Получили противоречие.

Ответ: нет.

Пункт в: наибольшая новая сумма

Из равенства:

$$10A+B=363$$

выразим:

$$B=363-10A.$$

Новая сумма:

$$S=10B+A.$$

Подставляем выражение для $B$:

$$S=10(363-10A)+A.$$

$$S=3630-100A+A.$$

$$S=3630-99A.$$

Чтобы значение $S$ было максимальным, значение $A$ должно быть минимальным.

Но цифры в числах ненулевые. Каждая цифра единиц не больше $9$, а каждая цифра десятков не меньше $1$. Поэтому:

$$B\leqslant9A.$$

Из условия:

$$363=10A+B.$$

Следовательно:

$$363\leqslant10A+9A.$$

$$363\leqslant19A.$$

$$A\geqslant\frac{363}{19}.$$

Так как:

$$\frac{363}{19}>19,$$

а $A$ — целое число, получаем:

$$A\geqslant20.$$

При $A=20$:

$$S=3630-99\cdot20.$$

$$S=3630-1980=1650.$$

Остаётся доказать достижимость.

Возьмём восемнадцать чисел $19$ и одно число $21$.

Их исходная сумма:

$$18\cdot19+21=342+21=363.$$

После перестановки цифр получаем восемнадцать чисел $91$ и одно число $12$:

$$18\cdot91+12=1638+12=1650.$$

Значит, найденная граница достигается.

Ответ: $1650$.

Что показывает задача о перестановке цифр

Вместо перебора отдельных двузначных чисел были введены две суммы:

$$A=\text{сумма цифр десятков},$$

$$B=\text{сумма цифр единиц}.$$

Это позволило:

• составить систему;
• использовать целочисленность;
• получить неравенство $B\leqslant9A$;
• найти максимум;
• построить набор чисел, на котором максимум достигается.

Произведение и сумма цифр

В задачах с условием вида

$$a\cdot b\cdot c\cdot d = k(a+b+c+d)$$

число $k$ выражается формулой:

$$k=\frac{abcd}{a+b+c+d}.$$

Для исследования $k$ полезны:

• разложение на простые множители;
• ограничения $0\leqslant a,b,c,d\leqslant9$;
• делимость произведения;
• сравнение произведения и суммы;
• упорядочивание цифр;
• построение примера.

Если одна из цифр равна нулю, произведение всех цифр равно нулю. Поэтому неравенство

$$abcd<a+b+c+d$$

выполняется автоматически, если сумма цифр положительна.

Задача о произведении цифр

Условие. Дано четырёхзначное число $\overline{abcd}$, где $a$, $b$, $c$ и $d$ — соответственно цифры разрядов тысяч, сотен, десятков и единиц, причём $a\ne0$.

а) Может ли произведение $a\cdot b\cdot c\cdot d$ быть в $3$ раза больше суммы $a+b+c+d$?

б) Цифры $a$, $b$, $c$ и $d$ попарно различны. Сколько существует различных чисел $\overline{abcd}$ таких, что

$$a\cdot b\cdot c\cdot d<a+b+c+d?$$

в) Известно, что

$$a\cdot b\cdot c\cdot d=k(a+b+c+d),$$

где $k$ — двузначное число. При каком наименьшем значении $\overline{abcd}$ число $k$ будет наибольшим?

Пункт а: пример

Нужно привести хотя бы одно четырёхзначное число, для цифр которого выполняется:

$$abcd=3(a+b+c+d).$$

Возьмём число:

$$1236.$$

Произведение его цифр:

$$1\cdot2\cdot3\cdot6=36.$$

Сумма цифр:

$$1+2+3+6=12.$$

Получаем:

$$36=3\cdot12.$$

Следовательно, такая ситуация возможна.

Ответ: да, например число $1236$.

Пункт б: когда произведение меньше суммы

Если среди цифр есть ноль, то:

$$abcd=0.$$

Поскольку число четырёхзначное, сумма его цифр положительна. Значит:

$$0<a+b+c+d.$$

Поэтому каждое число с нулём среди цифр удовлетворяет неравенству.

Теперь докажем, что без нуля неравенство выполняться не может.

Пусть наименьшая цифра не меньше $2$. Поскольку цифры попарно различны, произведение не меньше:

$$2\cdot3\cdot4\cdot5=120.$$

Сумма четырёх цифр не больше:

$$9+8+7+6=30.$$

Следовательно, произведение больше суммы.

Пусть наименьшая цифра равна $1$, но цифры $2$ нет. Тогда три остальные цифры не меньше $3$, $4$ и $5$:

$$abcd\geqslant1\cdot3\cdot4\cdot5=60.$$

При этом сумма цифр не больше:

$$1+7+8+9=25.$$

Произведение снова больше суммы.

Пусть среди цифр есть $1$ и $2$. Тогда две другие различные ненулевые цифры не меньше $3$ и $4$:

$$abcd\geqslant1\cdot2\cdot3\cdot4=24.$$

А сумма не больше:

$$1+2+8+9=20.$$

И здесь произведение больше суммы.

Значит, нужное неравенство выполняется в точности для чисел, среди цифр которых есть ноль.

Посчитаем количество четырёхзначных чисел с попарно различными цифрами.

Первую цифру можно выбрать $9$ способами.

Вторую — $9$ способами: допускается ноль, но нельзя повторять первую цифру.

Третью — $8$ способами.

Четвёртую — $7$ способами.

Всего:

$$9\cdot9\cdot8\cdot7=4536.$$

Теперь посчитаем числа без нуля.

Первая цифра выбирается $9$ способами, затем:

$$8,\quad7,\quad6$$

способами.

Получаем:

$$9\cdot8\cdot7\cdot6=3024.$$

Следовательно, чисел с нулём:

$$4536-3024=1512.$$

Ответ: $1512$.

Пункт в: наибольшее значение k

Имеем:

$$k=\frac{abcd}{a+b+c+d}.$$

По условию $k$ — двузначное число, поэтому:

$$k\leqslant99.$$

Проверим наибольшие кандидаты.

Почему k не равно 99

Если:

$$abcd=99(a+b+c+d),$$

то произведение цифр должно делиться на $11$.

Но ненулевые цифры находятся среди чисел от $1$ до $9$, и ни одна из них не делится на $11$. Поэтому их произведение не может делиться на $11$.

Следовательно:

$$k\ne99.$$

Почему k не равно 98

Разложим:

$$98=2\cdot7^2.$$

Чтобы произведение четырёх цифр делилось на $7^2$, среди цифр должны находиться две цифры $7$.

Пусть две остальные цифры равны $x$ и $y$. Тогда:

$$49xy=98(14+x+y).$$

Делим на $49$:

$$xy=2(14+x+y).$$

$$xy=28+2x+2y.$$

Переносим слагаемые:

$$xy-2x-2y=28.$$

Добавим $4$:

$$(x-2)(y-2)=32.$$

Но $x$ и $y$ — цифры от $1$ до $9$, поэтому:

$$-1\leqslant x-2\leqslant7,$$

$$-1\leqslant y-2\leqslant7.$$

Положительные разложения числа $32$:

$$1\cdot32,\qquad2\cdot16,\qquad4\cdot8.$$

Ни в одном случае оба множителя не лежат в диапазоне от $1$ до $7$.

Следовательно:

$$k\ne98.$$

Почему k не равно 97

Число $97$ простое и больше любой цифры.

Если:

$$abcd=97(a+b+c+d),$$

то произведение цифр должно делиться на $97$. Это невозможно, поскольку все ненулевые множители не больше $9$.

Значит:

$$k\ne97.$$

Значение k = 96 достигается

Возьмём цифры:

$$5,\ 8,\ 8,\ 9.$$

Их произведение:

$$5\cdot8\cdot8\cdot9=2880.$$

Сумма:

$$5+8+8+9=30.$$

Следовательно:

$$k=\frac{2880}{30}=96.$$

Значит, наибольшее возможное значение равно:

$$k=96.$$

Как найти наименьшее число при k = 96

Теперь нужно среди всех чисел с $k=96$ найти наименьшее.

Для минимального числа его цифры выгодно расположить по возрастанию. Пусть:

$$1\leqslant a\leqslant b\leqslant c\leqslant d\leqslant9.$$

Докажем, что первая цифра не может быть меньше $5$.

При фиксированных остальных цифрах отношение

$$\frac{abcd}{a+b+c+d}$$

увеличивается при увеличении любой положительной цифры.

Поэтому при $a\leqslant4$ наибольшее возможное значение отношения достигается при цифрах:

$$4,\ 9,\ 9,\ 9.$$

Но:

$$\frac{4\cdot9\cdot9\cdot9}{4+9+9+9} = \frac{2916}{31} <96.$$

Следовательно, при $k=96$ наименьшая цифра должна быть не меньше $5$.

Чтобы число было минимальным, пробуем:

$$a=5.$$

Произведение цифр должно делиться на:

$$96=2^5\cdot3.$$

Цифра $5$ не содержит множителей $2$ и $3$. Среди цифр от $5$ до $9$ достаточную степень двойки можно получить только при наличии двух цифр $8$:

$$8\cdot8=2^6.$$

Для множителя $3$ третья цифра должна быть равна $6$ или $9$.

Проверяем два набора.

Для цифр $5$, $6$, $8$, $8$:

$$\frac{5\cdot6\cdot8\cdot8}{5+6+8+8} = \frac{1920}{27} \ne96.$$

Для цифр $5$, $8$, $8$, $9$:

$$\frac{5\cdot8\cdot8\cdot9}{5+8+8+9} = \frac{2880}{30} = 96.$$

Наименьшее число из этих цифр:

$$5889.$$

Ответ: $5889$.

Среднее арифметическое как сумма, делённая на количество

Если дано $n$ чисел с суммой $S$, их среднее арифметическое равно:

$$\overline{x}=\frac{S}{n}.$$

Отсюда:

$$\boxed{S=n\overline{x}}.$$

Это главная формула всех задач на среднее арифметическое.

Если в группе $n$ человек, а средний балл равен $a$, сумма баллов группы равна:

$$na.$$

Если к группе добавили число $k$, новое среднее:

$$\frac{na+k}{n+1}.$$

Если из группы удалили число $k$, новое среднее:

$$\frac{na-k}{n-1}.$$

В задачах на среднее удобнее работать не со средним напрямую, а с общей суммой.

Среднее двух групп

Пусть в первой группе $a$ чисел со средним $x$, а во второй — $b$ чисел со средним $y$.

Сумма первой группы:

$$ax.$$

Сумма второй:

$$by.$$

Общее среднее:

$$\boxed{\frac{ax+by}{a+b}}.$$

Нельзя находить его простой формулой:

$$\frac{x+y}{2},$$

если в группах разное количество чисел.

Такое среднее называется взвешенным: среднее каждой группы учитывается с весом, равным количеству элементов.

Задача о двух наборах чисел

Условие. Даны два набора чисел: в первом наборе каждое число равно $175$, а во втором — каждое число равно $80$. Среднее арифметическое всех чисел двух наборов равно $145$.

а) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $n$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов стать равным $132$?

б) Каждое число первого набора уменьшили на натуральное число $m$. Может ли среднее арифметическое всех чисел двух наборов стать равным $135$?

в) Каждое число одного набора увеличили на натуральное число $k$, одновременно уменьшив на $k$ каждое число другого набора, при условии, что все числа остались положительными. Какие целые значения может принимать среднее арифметическое всех чисел двух наборов?

Соотношение количества чисел

Пусть в первом наборе $a$ чисел, а во втором — $b$ чисел.

По условию:

$$\frac{175a+80b}{a+b}=145.$$

Умножаем на $a+b$:

$$175a+80b=145a+145b.$$

$$30a=65b.$$

$$6a=13b.$$

Следовательно, существуют натуральное число $d$ и представление:

$$a=13d,\qquad b=6d.$$

Всего чисел:

$$a+b=19d.$$

Пункт а: можно ли получить среднее 132

Пусть каждое число первого набора уменьшили на $n$.

Новое значение чисел первого набора:

$$175-n.$$

Требуется:

$$\frac{(175-n)\cdot13d+80\cdot6d}{19d}=132.$$

Сокращаем на $d$:

$$\frac{13(175-n)+480}{19}=132.$$

Но удобнее заметить, насколько уменьшилось общее среднее.

Общая сумма уменьшилась на:

$$13dn.$$

Поэтому среднее уменьшилось на:

$$\frac{13dn}{19d}=\frac{13n}{19}.$$

По условию среднее изменилось с $145$ до $132$, то есть уменьшилось на $13$:

$$\frac{13n}{19}=13.$$

$$n=19.$$

Это натуральное число.

Новые числа первого набора:

$$175-19=156>0.$$

Следовательно, такая ситуация возможна.

Ответ: да, при $n=19$.

Пункт б: можно ли получить среднее 135

Среднее должно уменьшиться на:

$$145-135=10.$$

Поэтому:

$$\frac{13m}{19}=10.$$

$$13m=190.$$

Левая часть делится на $13$, а число $190$ на $13$ не делится.

Значит, натурального значения $m$ не существует.

Ответ: нет.

Пункт в: все целые средние

Рассмотрим два возможных направления изменения.

Первый набор уменьшается, второй увеличивается

Числа становятся равными:

$$175-k$$

и

$$80+k.$$

Первое число должно оставаться положительным:

$$175-k>0.$$

Следовательно:

$$1\leqslant k\leqslant174.$$

Новое среднее:

$$\frac{13d(175-k)+6d(80+k)}{19d}.$$

Сокращаем на $d$:

$$\frac{2275-13k+480+6k}{19}.$$

$$=\frac{2755-7k}{19}.$$

$$=145-\frac{7k}{19}.$$

Чтобы среднее было целым, число $7k$ должно делиться на $19$.

Поскольку числа $7$ и $19$ взаимно просты:

$$k\mid19$$

в том смысле, что $k$ должно быть кратно $19$:

$$k=19,\ 38,\ 57,\ 76,\ 95,\ 114,\ 133,\ 152,\ 171.$$

Получаем средние:

$$138,\ 131,\ 124,\ 117,\ 110,\ 103,\ 96,\ 89,\ 82.$$

Первый набор увеличивается, второй уменьшается

Теперь числа равны:

$$175+k$$

и

$$80-k.$$

Для положительности:

$$80-k>0.$$

Поэтому:

$$1\leqslant k\leqslant79.$$

Новое среднее:

$$145+\frac{7k}{19}.$$

Для целого результата $k$ снова должно быть кратно $19$:

$$k=19,\ 38,\ 57,\ 76.$$

Получаем:

$$152,\ 159,\ 166,\ 173.$$

Объединяем результаты:

$$82,\ 89,\ 96,\ 103,\ 110,\ 117,\ 124,\ 131,\ 138,\ 152,\ 159,\ 166,\ 173.$$

Ответ:

$$\boxed{82,\ 89,\ 96,\ 103,\ 110,\ 117,\ 124,\ 131,\ 138,\ 152,\ 159,\ 166,\ 173}.$$

Задача о положительных, отрицательных числах и нулях

Условие. На доске написано более $40$, но менее $48$ целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно $-3$, среднее арифметическое всех положительных из них равно $4$, среднее арифметическое всех отрицательных из них равно $-8$.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Составление модели

Пусть:

• $x$ — количество положительных чисел;
• $y$ — количество отрицательных чисел;
• $z$ — количество нулей.

Сумма положительных чисел:

$$4x.$$

Сумма отрицательных чисел:

$$-8y.$$

Сумма нулей равна нулю.

Общее количество:

$$x+y+z.$$

Поскольку общее среднее равно $-3$:

$$\frac{4x-8y}{x+y+z}=-3.$$

Следовательно:

$$4x-8y=-3(x+y+z).$$

Пункт а: количество чисел

Правая часть исходного равенства показывает:

$$-3(x+y+z)=4x-8y.$$

Правая часть делится на $4$, поэтому:

$$3(x+y+z)$$

делится на $4$.

Числа $3$ и $4$ взаимно просты, значит:

$$x+y+z$$

делится на $4$.

По условию общее количество больше $40$, но меньше $48`.

Единственное число в этом промежутке, делящееся на $4$:

$$44.$$

Ответ: $44$.

Пункт б: каких чисел больше

Преобразуем равенство:

$$4x-8y=-3x-3y-3z.$$

$$7x+3z=5y.$$

Отсюда:

$$5y=7x+3z.$$

Поскольку $x>0$:

$$7x+3z>5x.$$

Следовательно:

$$5y>5x.$$

$$y>x.$$

Отрицательных чисел больше.

Ответ: отрицательных.

Пункт в: максимум положительных чисел

Мы знаем:

$$x+y+z=44.$$

Также:

$$5y=7x+3z.$$

Подставим:

$$z=44-x-y.$$

Получаем:

$$5y=7x+3(44-x-y).$$

$$5y=7x+132-3x-3y.$$

$$8y=4x+132.$$

$$x=2y-33.$$

Количество нулей неотрицательно:

$$