Тип 16 № 10718

Подберём первый корень уравнения: $$x = \pm1, \quad x = \pm 2, \quad x = \pm4$$

Подставим $x = 1$: $$(1)^3 +6\cdot1^2 -1 - 6 = 0$$

Мы подобрали корень $x = 1$. Теперь разделим многочлен на множитель $(x - 1)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x^3 -x^2 - 8x -4) = 0$$ $$x - 1 = 0 \text{ или } x^3 - x^2 - 8x - 4 = 0$$

Теперь попробуем подобрать корень второй скобки: $$x = \pm1, \quad x = \pm2, \quad x = \pm 4$$

Подставим $x = 1$: $$1^3 - (1)^2 - 8\cdot1 - 4 = 1 - 13 = -12 \neq 0$$

Подставим $x = -1$: $$(-1)^3 - (-1)^2 -8\cdot(-1) - 4 = -6 + 8 = -2 \neq 0$$

Подставим $x = 2$: $$2^3 - (2)^2 - 8 \cdot(2) - 4 = 8 - 4 - 16 - 4 = -16 \neq 0$$

Подставим $x = -2$: $$(-2)^3 -(-2)^2 - 8\cdot(-2) - 4 = -8 - 4 + 16 - 4 = 0$$

Мы подобрали корень $x = -2$. Теперь поделим многочлен второй скобки на $(x + 2)$:

В итоге получаем: $$(x - 1)(x + 2)(x^2 - 3x - 2) = 0$$

Попробуем разложить $x^2 - 3x - 2$ на множители: $$D = 9 - 4\cdot1\cdot(-2) = 17$$ $$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$$

Ответ: $\{-2; \tfrac{3 - \sqrt{17}}{2}; 1; \tfrac{3 + \sqrt{17}}{2}\}$