Данное уравнение равносильно системе:
{ x 2 − a ( a − 1 ) x − a 3 = 0 ( 1 ) 3 + 2 x − x 2 > 0 ( 2 ) \begin{cases}
x^2 - a(a - 1)x - a^3 = 0 (1)\\
3 + 2x - x^2 > 0 (2)
\end{cases} { x 2 − a ( a − 1 ) x − a 3 = 0 ( 1 ) 3 + 2 x − x 2 > 0 ( 2 )
По условию задачи нам нужно, чтобы исходное уравнение имело ровно два различных корня. То есть дискриминант первого уравнения системы должен быть строго положительным.
Кроме того, полученные корни должны удовлетворять второму условию системы.
Для начала определим какому интервалу должны принадлежать корни числителя (1 уравнения системы):
x 2 − 2 x − 3 < 0 x^2 - 2x - 3 < 0 x 2 − 2 x − 3 < 0 D = 4 + 4 ⋅ 3 = 16 = 4 2 D = 4 + 4\cdot 3 = 16 = 4^2 D = 4 + 4 ⋅ 3 = 16 = 4 2 x = 2 ± 4 2 ⇒ x = 3 , x = − 1 x = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x = 3, \quad x = -1 x = 2 2 ± 4 ⇒ x = 3 , x = − 1 x ∈ ( − 1 ; 3 ) x \in (-1; 3) x ∈ ( − 1 ; 3 )
Теперь разберёмся с уравнением:
D > 0 ⇔ a 2 ( a − 1 ) 2 − 4 ⋅ ( − a 3 ) > 0 ⇔ a 2 ( ( a − 1 ) 2 + 4 a ) > 0 ⇔ a 2 ( a 2 − 2 a + 1 + 4 a ) > 0 ⇔ D > 0 \Leftrightarrow a^2(a - 1)^2 - 4\cdot(-a^3) > 0 \Leftrightarrow a^2((a - 1)^2 + 4a) > 0 \Leftrightarrow a^2(a^2 - 2a + 1 + 4a) > 0 \Leftrightarrow D > 0 ⇔ a 2 ( a − 1 ) 2 − 4 ⋅ ( − a 3 ) > 0 ⇔ a 2 (( a − 1 ) 2 + 4 a ) > 0 ⇔ a 2 ( a 2 − 2 a + 1 + 4 a ) > 0 ⇔ ⇔ a 2 ( a 2 + 2 a + 1 ) > 0 ⇔ a 2 ( a + 1 ) 2 > 0 \Leftrightarrow a^2(a^2 +2a + 1) > 0 \Leftrightarrow a^2(a + 1)^2 > 0 ⇔ a 2 ( a 2 + 2 a + 1 ) > 0 ⇔ a 2 ( a + 1 ) 2 > 0 a = / 0 , a = / − 1 a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, \quad a \mathrel{=}\llap{/\,} -1 a = / 0 , a = / − 1
Теперь найдём корни:
x 1 = − ( − a ( a − 1 ) ) + a 2 ( a + 1 ) 2 2 = a 2 − a + ∣ a ( a + 1 ) ∣ 2 x_1 = \frac{-(-a(a - 1)) + \sqrt{a^2(a + 1)^2}}{2} = \frac{a^2 - a + |a(a + 1)|}{2} x 1 = 2 − ( − a ( a − 1 )) + a 2 ( a + 1 ) 2 = 2 a 2 − a + ∣ a ( a + 1 ) ∣ x 2 = − ( − a ( a − 1 ) ) − a 2 ( a + 1 ) 2 2 = a 2 − a − ∣ a ( a + 1 ) ∣ 2 x_2 = \frac{-(-a(a - 1)) - \sqrt{a^2(a + 1)^2}}{2} = \frac{a^2 - a - |a(a + 1)|}{2} x 2 = 2 − ( − a ( a − 1 )) − a 2 ( a + 1 ) 2 = 2 a 2 − a − ∣ a ( a + 1 ) ∣
Проверим необходимые условия для каждого корня:
− 1 < x 1 < 3 ⇔ − 1 < a 2 − a + ∣ a ( a + 1 ) ∣ 2 < 3 ⇔ − 2 < a 2 − a + ∣ a ( a + 1 ) ∣ < 6 -1 <x_1 < 3 \Leftrightarrow -1 < \frac{a^2 - a + |a(a + 1)|}{2} < 3 \Leftrightarrow -2 < a^2 - a + |a(a + 1)| < 6 − 1 < x 1 < 3 ⇔ − 1 < 2 a 2 − a + ∣ a ( a + 1 ) ∣ < 3 ⇔ − 2 < a 2 − a + ∣ a ( a + 1 ) ∣ < 6 − 1 < x 2 < 3 ⇔ − 1 < a 2 − a − ∣ a ( a + 1 ) ∣ 2 < 3 ⇔ − 2 < a 2 − a − ∣ a ( a + 1 ) ∣ < 6 -1 <x_2 < 3 \Leftrightarrow -1 < \frac{a^2 - a - |a(a + 1)|}{2} < 3 \Leftrightarrow -2 < a^2 - a - |a(a + 1)| < 6 − 1 < x 2 < 3 ⇔ − 1 < 2 a 2 − a − ∣ a ( a + 1 ) ∣ < 3 ⇔ − 2 < a 2 − a − ∣ a ( a + 1 ) ∣ < 6
Для этих неравенств одновременно будем рассматривать случаи раскрытия модуля:
a ( a + 1 ) ≥ 0 ⇒ a ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) a(a + 1) \geq 0 \Rightarrow a \in (-\infty; -1] \cup [0; + \infty) a ( a + 1 ) ≥ 0 ⇒ a ∈ ( − ∞ ; − 1 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ) { − 2 < a 2 − a + a 2 + a < 6 − 2 < a 2 − a − a 2 − a < 6 ⇔ { − 2 < 2 a 2 < 6 − 2 < − 2 a < 6 ⇔ { a 2 < 3 1 > a > − 3 ⇔ \begin{cases}
-2 <a^2 - a + a^2 + a < 6\\
-2 < a^2 - a -a^2 - a < 6
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
-2 <2a^2 < 6\\
-2 < -2a < 6
\end{cases} \Leftrightarrow
\begin{cases}
a^2 < 3 \\
1 > a > -3
\end{cases} \Leftrightarrow { − 2 < a 2 − a + a 2 + a < 6 − 2 < a 2 − a − a 2 − a < 6 ⇔ { − 2 < 2 a 2 < 6 − 2 < − 2 a < 6 ⇔ { a 2 < 3 1 > a > − 3 ⇔ ⇔ { ( a − 3 ) ( a + 3 ) < 0 1 > a > − 3 ⇔ { a ∈ ( − 3 ; 3 ) a ∈ ( − 3 ; 1 ) ⇒ a ∈ ( − 3 ; 1 ) \Leftrightarrow \begin{cases}
(a - \sqrt3)(a + \sqrt3) < 0\\
1 > a > -3
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
a \in (-\sqrt3; \sqrt3)\\
a \in (-3; 1)
\end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; 1) ⇔ { ( a − 3 ) ( a + 3 ) < 0 1 > a > − 3 ⇔ { a ∈ ( − 3 ; 3 ) a ∈ ( − 3 ; 1 ) ⇒ a ∈ ( − 3 ; 1 ) Учитывая рассматриваемый нами промежуток для параметра a a a a ∈ ( − 3 ; − 1 ] ∪ [ 0 ; 1 ) a \in (-\sqrt3; -1] \cup [0; 1) a ∈ ( − 3 ; − 1 ] ∪ [ 0 ; 1 )
a ( a + 1 ) < 0 ⇒ a ∈ ( − 1 ; 0 ) a(a + 1) < 0 \Rightarrow a \in (-1; 0) a ( a + 1 ) < 0 ⇒ a ∈ ( − 1 ; 0 ) { − 2 < a 2 − a − a 2 − a < 6 − 2 < a 2 − a + a 2 + a < 6 ⇔ { − 2 < − 2 a < 6 − 2 < 2 a 2 < 6 ⇔ { 1 > a > − 3 − 2 < 2 a 2 < 6 ⇔ \begin{cases}
-2 <a^2 - a - a^2 - a < 6\\
-2 < a^2 - a + a^2 + a < 6
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
-2 < -2a < 6\\
-2 < 2a^2 < 6
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
1 > a > -3\\
-2 < 2a^2 < 6
\end{cases} \Leftrightarrow { − 2 < a 2 − a − a 2 − a < 6 − 2 < a 2 − a + a 2 + a < 6 ⇔ { − 2 < − 2 a < 6 − 2 < 2 a 2 < 6 ⇔ { 1 > a > − 3 − 2 < 2 a 2 < 6 ⇔ ⇔ { a ∈ ( − 3 ; 1 ) a 2 < 3 ⇒ a ∈ ( − 3 ; 1 ) \Leftrightarrow \begin{cases}
a \in (-3; 1)\\
a^2 < 3
\end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; 1) ⇔ { a ∈ ( − 3 ; 1 ) a 2 < 3 ⇒ a ∈ ( − 3 ; 1 ) Учитывая рассматриваемый промежуток для параметра a ∈ ( − 1 ; 0 ) a \in (-1; 0) a ∈ ( − 1 ; 0 ) a ∈ ( − 1 ; 0 ) a \in (-1; 0) a ∈ ( − 1 ; 0 )
Объединяя эти два случая и ограничения a = / 0 , a = / − 1 a \mathrel{=}\llap{/\,} 0, \quad a \mathrel{=}\llap{/\,} -1 a = / 0 , a = / − 1 { a = / − 1 a = / 0 [ a ∈ ( − 1 ; 0 ) a ∈ ( − 3 ; − 1 ] ∪ [ 0 ; 1 ) ⇔ { a = / − 1 a = / 0 a ∈ ( − 3 ; 1 ) ⇒ a ∈ ( − 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 1 ) \begin{cases}
a \mathrel{=}\llap{/\,} -1\\
a \mathrel{=}\llap{/\,} 0\\
\left[ \begin{aligned}
&a \in (-1; 0)\\
&a \in (-\sqrt3; -1] \cup [0; 1)
\end{aligned}\right.
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
a \mathrel{=}\llap{/\,} -1\\
a \mathrel{=}\llap{/\,} 0\\
a \in (-\sqrt3; 1)
\end{cases} \Rightarrow a \in (-\sqrt3; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) ⎩ ⎨ ⎧ a = / − 1 a = / 0 [ a ∈ ( − 1 ; 0 ) a ∈ ( − 3 ; − 1 ] ∪ [ 0 ; 1 ) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ a = / − 1 a = / 0 a ∈ ( − 3 ; 1 ) ⇒ a ∈ ( − 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 1 )
Ответ: ( − 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 1 ) (-\sqrt3; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) ( − 3 ; − 1 ) ∪ ( − 1 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 1 )