Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
7x−4⋅ln(x2−8x+17−a2)=0
имеет ровно один корень на отрезке [0;4].
Решение:
(∗)⎩⎨⎧x2−8x+17−a2>07x−4≥00≤x≤4
Уравнение можно переписать в виде:
7x−4⋅ln(x2−8x+17−a2)=0
Это равносильно совокупности:
[7x−4=0ln(x2−8x+17−a2)=0
Первое уравнение:
7x−4=0⇒x=74∈[0;4]
Проверим, при каких значениях параметра a, x=74 является корнем, для этого подставим его в (∗):
(74)2−8⋅74+17−a2>0⇔4916−732+17−a2>0⇔49625>a2⇒a∈(−725;725)
Второе уравнение:
ln(x2−8x+17−a2)=0⇒x2−8x+17−a2=1⇒(x−4)2=a2⇒x=4±a
Проверим условия для каждого корня:
Для x=4−a:
{4−a≥740≤4−a≤4⇔{a≤7240≤a≤4⇒a∈[0;724]
Для x=4+a:
{4+a≥740≤4+a≤4⇔{a≥−724−4≤a≤0⇒a∈[−724;0]
