Тип 24 № 11147

1. Найдём производную функцию: $$y' = (12\cos x + 6\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}\pi + 6)' = -12\sin x + 6\sqrt{3}$$

2. Найдём нули производной: $$-12\sin x + 6\sqrt{3} = 0$$ $$12\sin x = 6\sqrt{3}$$ $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Общее решение: $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ На отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ единственный корень: $$x = \frac{\pi}{3}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $\left[0,\frac{\pi}{3}\right]$, так как $y' > 0$ при $x \in \left[0,\frac{\pi}{3}\right)$, и убывает на $\left[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$, так как $y' < 0$ при $x \in \left(\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\right]$, поэтому $x = \frac{\pi}{3}$ - точка максимума.

1. Вычисление наибольшего значения: $$y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 12\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) + 6\sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{3} - 2\sqrt{3}\pi + 6$$ $$= 12\cdot\frac{1}{2} + 2\sqrt{3}\pi - 2\sqrt{3}\pi + 6$$ $$= 6 + 0 + 6 = 12$$