Тип 24 № 11149

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(3+\frac{5\pi}{4}-5x-5\sqrt{2}\cos x\right)' = -5 + 5\sqrt{2}\sin x$$

2. Найдём нули производной: $$-5 + 5\sqrt{2}\sin x = 0$$ $$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Общее решение уравнения: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ На отрезке $\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$ находится только один корень: $$x = \frac{\pi}{4}$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x \in \left[0,\frac{\pi}{4}\right)$ и возрастает при $x \in \left(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}\right]$, поэтому $x = \frac{\pi}{4}$ - точка минимума.

1. Наименьшее значение: $$y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 3+\frac{5\pi}{4}-5\cdot\frac{\pi}{4}-5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 3 - 5 = -2$$