Тип 16 № 11216

Сделаем замену $7^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{t + 7}{t - 7} + \frac{t - 7}{t + 7} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(t + 7)^2 + (t - 7)^2}{(t - 7)(t + 7)} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{t^2 + 14t + 49 + t^2 - 14t + 49}{(t - 7)(t + 7)} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Упростим числитель:

$$\frac{2t^2 + 98}{(t - 7)(t + 7)} \geq \frac{4t + 96}{t^2 - 49}$$

Перенесём все слагаемые в левую часть:

$$\frac{2t^2 + 98 - 4t - 96}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0$$

Упростим числитель:

$$\frac{2t^2 - 4t + 2}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{t^2 - 2t + 1}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(t - 1)^2}{(t - 7)(t + 7)} \geq 0$$

Решение неравенства равносильно совокупности:

$$\left[\begin{aligned} &t < -7 \\ &t = 1 \\ &t > 7 \end{aligned}\right.$$

Учитывая, что $t = 7^x > 0$, получаем:

$$\left[\begin{aligned} &7^x = 1 \\ &7^x > 7 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &x > 1 \end{aligned}\right.$$

Ответ: $x \in \{0\} \cup (1; +\infty)$