( ∗ ) { ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) > 0 x 2 − 5 x + 6 > 0 5 − x > 0 ⇒ { 2 > x ( так как x 2 + 7 > 0 для всех x ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) > 0 x < 5 ⇔ (*)
\begin{cases}
(2 - x)(x^2 + 7) > 0 \\
x^2 - 5x + 6 > 0 \\
5 - x > 0
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
2 > x \quad (\text{так как } x^2 + 7 > 0 \text{ для всех } x) \\
(x-2)(x-3) > 0 \\
x < 5
\end{cases} \Leftrightarrow ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) > 0 x 2 − 5 x + 6 > 0 5 − x > 0 ⇒ ⎩ ⎨ ⎧ 2 > x ( так как x 2 + 7 > 0 для всех x ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) > 0 x < 5 ⇔ ⇔ { x < 2 x ∈ ( − ∞ ; 2 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) x < 5 ⇒ x < 2 \Leftrightarrow \begin{cases}
x < 2 \quad \\
x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \\
x < 5
\end{cases}
\Rightarrow x < 2 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x < 2 x ∈ ( − ∞ ; 2 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) x < 5 ⇒ x < 2
Преобразуем исходное неравенство:
log 1 4 ( ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) ) ≤ log 1 4 ( ( x 2 − 5 x + 6 ) ( 5 − x ) ) \log_{\tfrac{1}{4}}((2 - x)(x^2 + 7)) \leq \log_{\tfrac{1}{4}}((x^2 - 5x + 6)(5 - x)) log 4 1 (( 2 − x ) ( x 2 + 7 )) ≤ log 4 1 (( x 2 − 5 x + 6 ) ( 5 − x ))
Так как основание логарифма 1 4 < 1 \tfrac{1}{4} < 1 4 1 < 1 ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) ≥ ( x 2 − 5 x + 6 ) ( 5 − x ) (2 - x)(x^2 + 7) \geq (x^2 - 5x + 6)(5 - x) ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) ≥ ( x 2 − 5 x + 6 ) ( 5 − x ) ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) ≥ ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( 5 − x ) (2 - x)(x^2 + 7) \geq (x - 2)(x - 3)(5 - x) ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) ≥ ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( 5 − x ) ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) + ( 2 − x ) ( x − 3 ) ( 5 − x ) ≥ 0 (2 - x)(x^2 + 7) + (2 - x)(x - 3)(5 - x) \geq 0 ( 2 − x ) ( x 2 + 7 ) + ( 2 − x ) ( x − 3 ) ( 5 − x ) ≥ 0 ( 2 − x ) ( x 2 + 7 + ( x − 3 ) ( 5 − x ) ) ≥ 0 (2 - x)(x^2 + 7 + (x - 3)(5 - x)) \geq 0 ( 2 − x ) ( x 2 + 7 + ( x − 3 ) ( 5 − x )) ≥ 0 ( 2 − x ) ( x 2 + 7 + 5 x − x 2 − 15 + 3 x ) ≥ 0 (2 - x)(x^2 + 7 + 5x - x^2 - 15 + 3x) \geq 0 ( 2 − x ) ( x 2 + 7 + 5 x − x 2 − 15 + 3 x ) ≥ 0 ( 2 − x ) ( 8 x − 8 ) ≥ 0 (2 - x)(8x - 8) \geq 0 ( 2 − x ) ( 8 x − 8 ) ≥ 0 8 ( 2 − x ) ( x − 1 ) ≥ 0 8(2 - x)(x - 1) \geq 0 8 ( 2 − x ) ( x − 1 ) ≥ 0 ( 2 − x ) ( x − 1 ) ≥ 0 (2 - x)(x - 1) \geq 0 ( 2 − x ) ( x − 1 ) ≥ 0
Решение неравенства:
x ∈ [ 1 ; 2 ] x \in [1; 2] x ∈ [ 1 ; 2 ]
Учитывая ограничение ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x < 2 x < 2 x < 2 x ∈ [ 1 ; 2 ) x \in [1; 2) x ∈ [ 1 ; 2 )
Ответ: x ∈ [ 1 ; 2 ) x \in [1; 2) x ∈ [ 1 ; 2 )
