Тип 16 № 11429

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_3\left(\left(\frac{1}{x} - 1\right)\left(\frac{1}{x} + 1\right)\right) \leq \log_3(8x - 1)$$

Основания логарифмов $3 > 1$, неравенство равносильно: $$\left(\frac{1}{x} - 1\right)\left(\frac{1}{x} + 1\right) \leq 8x - 1$$

$$(*) \begin{cases} \tfrac{1}{x} - 1 > 0 \\ \tfrac{1}{x} + 1 > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{1 - x}{x} > 0 \\ \tfrac{1 + x}{x} > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (0; 1) \\ x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty) \\ \end{cases} \Rightarrow x \in (0; 1)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $8x - 1$ автоматически положительно. $$\frac{1}{x^2} - 1 \leq 8x - 1$$ $$\frac{1}{x^2} \leq 8x$$ Умножим обе части на $x^2$ (так как $x > 0$): $$1 \leq 8x^3$$ $$x^3 \geq \frac{1}{8}$$ $$x \geq \frac{1}{2}$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right)$$

Ответ: $x \in \left[\frac{1}{2}; 1\right)$