Тип 16 № 11430

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: $$\log_7\left(\frac{49x^2 - 25}{x}\right) \leq \log_7\left(50x - \frac{9}{x} - 10\right)$$

Так как основания логарифмов равны $7 > 1$, неравенство равносильно: $$\frac{49x^2 - 25}{x} \leq 50x - \frac{9}{x} - 10$$

$$(*) \begin{cases} 49x^2 - 25 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} (7x - 5)(7x + 5) > 0 \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x \in \left(-\infty; -\frac{5}{7}\right) \cup \left(\frac{5}{7}; +\infty\right) \\ x > 0 \end{cases} \Rightarrow x \in \left(\frac{5}{7}; +\infty\right)$$

Если выполняется условие $(*)$, то $50x - \frac{9}{x} -10$ автоматически положительно:

$$\frac{49x^2 - 25}{x} \leq 50x - \frac{9}{x} - 10$$ Умножим обе части на $x$ (так как $x > 0$): $$49x^2 - 25 \leq 50x^2 - 9 - 10x$$ $$49x^2 - 25 - 50x^2 + 9 + 10x \leq 0$$ $$- x^2 + 10x - 16 \leq 0$$ $$x^2 - 10x + 16 \geq 0$$ Разложим на множители: $$(x - 2)(x - 8) \geq 0$$

Решение неравенства: $$x \in (-\infty; 2] \cup [8; +\infty)$$

Учитывая ограничения $(*)$, получаем окончательный ответ: $$x \in \left(\frac{5}{7}; 2\right] \cup [8; +\infty)$$

Ответ: $x \in \left(\frac{5}{7}; 2\right] \cup [8; +\infty)$