Тип 14 № 11539

а) Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 13\sin^2x - 5\sin x = 0 \\ 13\cos x + 12 \neq 0 \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$13\sin^2x - 5\sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(13\sin x - 5) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{5}{13} \end{aligned} \right.$$

1. Для $\sin x = 0$: $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

2. Для $\sin x = \frac{5}{13}$: $$x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Получаем совокупность: $$\left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \\ &x = \pi - \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$ Учитывая условие $\cos x \neq -\frac{12}{13}$, получаем:

$$\left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) - 2\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi, \arcsin\left(\frac{5}{13}\right) - 2\pi$