Тип 14 № 11626

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$$ Подставляем в уравнение: $$4\cos^2 x = \frac{\cos x}{\sin x}$$ $$\frac{4\cos^2 x \sin x - \cos x}{\sin x} = 0$$ $$\frac{\cos x(4\cos x \sin x - 1)}{\sin x} = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & 2\sin 2x - 1= 0\\ \end{aligned} \right. \\ \sin x \neq 0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k\end{cases}, k \in Z \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & x = \frac{\pi}{12} + \pi k\\ & x = \frac{5\pi}{12} + \pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k\end{cases}, k \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[-5\pi; -4\pi]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{2} - 5\pi = -\frac{9\pi}{2}$$ $$\frac{\pi}{12} - 5\pi = -\frac{59\pi}{12}$$ $$\frac{5\pi}{12} - 5\pi = -\frac{55\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; \frac{\pi}{12} + \pi k; \frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{9\pi}{2}, -\frac{59\pi}{12}, -\frac{55\pi}{12}$