Тип 24 № 11641

1. Найдём производную функции: $$y' = \left(-\dfrac{2}{3}x^{3/2} + 3x + 1\right)' = -\sqrt{x} + 3$$

2. Найдём нули производной: $$-\sqrt{x} + 3 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 3 \Rightarrow x = 9$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[1,9]$ и убывает после $x=9$, поэтому наибольшее значение в точке $x=9$: $$y(9) = -\dfrac{2}{3} \cdot 9 \cdot 3 + 3 \cdot 9 + 1 = -18 + 27 + 1 = 10$$