Тип 14 № 11988

Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$4\sin^3 x + 2\sqrt{3}(1 - 2\sin^2 x) + 3\sin x - 2\sqrt{3} = 0$$ $$4\sin^3 x + 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3}\sin^2 x + 3\sin x - 2\sqrt{3} = 0$$ $$4\sin^3 x - 4\sqrt{3}\sin^2 x + 3\sin x = 0$$ $$\sin x (4\sin^2 x - 4\sqrt{3}\sin x + 3) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad 4\sin^2 x - 4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad (2\sin x - \sqrt{3})^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{5\pi}{3}, -2\pi , -3\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{5\pi}{3}, -2\pi , -3\pi $