Тип 14 № 11993

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставляем в уравнение: $$\frac{1}{\sin^2 x} - \frac{3}{\sin x} = -2$$ $$\frac{1 - 3\sin x + 2\sin^2 x}{\sin^2 x} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} & \sin x = 1 \\ & \sin x = \frac{1}{2}\\ \end{aligned} \right. \\ \sin x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k\\ \end{aligned} \right. \\ x \neq \pi k \end{cases}, k\in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[-2\pi; -\frac{\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$ $$\frac{5\pi}{6} - 2\pi = -\frac{7\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{11\pi}{6}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{6}$