Выразим cos 2 x \cos 2x cos 2 x sin x \sin x sin x 2 sin 3 x − 2 ( 1 − 2 sin 2 x ) + sin x + 2 = 0 2\sin^3x - \sqrt{2}(1 - 2\sin^2x) + \sin x + \sqrt{2} = 0 2 sin 3 x − 2 ( 1 − 2 sin 2 x ) + sin x + 2 = 0 2 sin 3 x + 2 2 sin 2 x + sin x = 0 2\sin^3x + 2\sqrt{2}\sin^2x + \sin x = 0 2 sin 3 x + 2 2 sin 2 x + sin x = 0 sin x ( 2 sin 2 x + 2 2 sin x + 1 ) = 0 ⇔ sin x ( 2 sin x + 1 ) 2 = 0 \sin x(2\sin^2x + 2\sqrt{2}\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow\sin x(\sqrt2\sin x + 1)^2 = 0 sin x ( 2 sin 2 x + 2 2 sin x + 1 ) = 0 ⇔ sin x ( 2 sin x + 1 ) 2 = 0 sin x = 0 или sin x = − 2 2 \sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} sin x = 0 или sin x = − 2 2 x = π k , x = − π 4 + 2 π n , x = − 3 π 4 + 2 π n , k , n ∈ Z x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z} x = π k , x = − 4 π + 2 π n , x = − 4 3 π + 2 π n , k , n ∈ Z
б) Найдём корни на отрезке [ 3 π 2 ; 3 π ] \left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right] [ 2 3 π ; 3 π ]
− π 4 + 2 π = 7 π 4 -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4} − 4 π + 2 π = 4 7 π
Корни, принадлежащие отрезку:
2 π , 3 π , 7 π 4 2\pi, 3\pi, \frac{7\pi}{4} 2 π , 3 π , 4 7 π
Ответ: а) π k ; − π 4 + 2 π n ; − 3 π 4 + 2 π n , k , n ∈ Z ; \pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z}; π k ; − 4 π + 2 π n ; − 4 3 π + 2 π n , k , n ∈ Z ; б) 2 π , 3 π , 7 π 4 2\pi, 3\pi, \frac{7\pi}{4} 2 π , 3 π , 4 7 π
