Тип 14 № 12025

Преобразуем уравнение, используя основное тригонометрическое тождество: $$2\sin^3 x + \sin x + 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}(1 - \sin^2 x)$$ $$2\sin^3 x + 2\sqrt{2}\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x(2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin^2 x + 2\sqrt{2}\sin x + 1 = 0$$ $$\sin x = 0 \text{ или } (\sqrt2\sin x + 1)^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \text{ или } \sin x = -\frac{\sqrt2}{2}$$ $$x = \pi k, k \in Z, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, n \in Z$$

б) Воспользуемся тригонометрической окружностью для отбора корней на промежутке $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$:

Рассматриваемый промежуток: $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$

$$-\frac{\pi}{4} - 2 \pi = -\frac{9\pi}{4}$$

Корни уравнения, которые входят в промежуток $\left[ -\frac{5\pi}{2}; -\pi \right]$: $$-2\pi; -\frac{9\pi}{4}; -\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k;$ $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$ $x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$ где $k,n\in \mathbb{Z}$

б) $-\frac{9\pi}{4};-2\pi; -\pi$