Тип 14 № 12040

Так как $\sin(x+\pi)=-\sin x$, получаем: $$4^{\sin x}+4^{-\sin x}=\tfrac{5}{2}.$$

Обозначим $t=4^{\sin x} > 0$ , тогда $4^{-\sin x}=\tfrac{1}{t}$.

$$t+\frac{1}{t}=\tfrac{5}{2}$$

Домножим на $t \neq 0$:

$$2t^2-5t+2=0 \Leftrightarrow t=2 \;\;\; \text{или} \;\;\; t=\tfrac{1}{2}.$$

1. $4^{\sin x}=2 \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=\tfrac{1}{2}$.

$$x=\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k, k \in Z$$

1. $4^{\sin x}=\tfrac{1}{2} \;\;\Rightarrow\;\; \sin x=-\tfrac{1}{2}$.

$$x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\; x=-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\tfrac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности.

$$\tfrac{5\pi}{6} + 2\pi =\tfrac{17\pi}{6},\;-\tfrac{5\pi}{6} + 4\pi =\tfrac{19\pi}{6},-\tfrac{\pi}{6} + 4\pi = \;\tfrac{23\pi}{6}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k,\;-\tfrac{5\pi}{6}+2\pi k,\;k\in\mathbb{Z};$

б) $\tfrac{17\pi}{6},\;\tfrac{19\pi}{6},\;\tfrac{23\pi}{6}$.