Тип 18 № 12571

а)

Так как $CH$ - высота прямоугольного $\triangle ABC$, то треугольники $\triangle ABC, \triangle ACH, \triangle CBH$ подобны.

Из подобия $\triangle ACH$ и $\triangle CBH$ получим:
$$\frac{AH}{CH} = \frac{AC}{BC}$$

Далее, углы $\angle CAB = \angle BCH = 90^\circ - \angle ABC$.

Пусть $\angle AHM = \alpha$. Тогда

$\angle CHM = 90^\circ - \alpha $

$\angle NHC = \angle NHM - \angle CHM = 90^\circ - (90^\circ-\alpha) = \alpha$

Значит, $\triangle MAH \sim \triangle NCH$ по двум равным углам, тогда $$\frac{MH}{NH}=\frac{AH}{CH}$$ Отсюда получаем, что $$\frac{MH}{NH}=\frac{AH}{CH} = \frac{AC}{BC}\quad \Longrightarrow \quad \frac{MH}{AC}=\frac{NH}{BC}$$

Таким образом $\triangle ABC \sim \triangle MNH$, так как $\angle ACB = \angle MHN = 90^\circ$ и соответствующие стороны пропорциональны.

б) Так как $\triangle ABC \sim \triangle MNH$, то:
$$\frac{AC}{BC}=\frac{MH}{NH}$$

Также $\triangle NCH \sim \triangle BCH$:
$$\frac{AM}{CN}=\frac{MH}{NH}=\frac{AC}{BC} \quad \Longrightarrow \quad \frac{AM}{CN}=\frac{AC}{BC}\quad \Longrightarrow \quad\frac{AC-CM}{CN}=\frac{AC}{BC}$$ Тогда $$CN = \frac{BC \cdot (AC-CM)}{AC} = \frac{3\cdot(5-2)}{5}=\frac{9}{5}$$

Ответ:    $\dfrac{9}{5}$