∗ { 25 − x 2 16 > 0 25 − x 2 16 ≠ 1 24 + 2 x − x 2 14 > 0 ⇔ { 25 − x 2 > 0 25 − x 2 ≠ 16 24 + 2 x − x 2 > 0 ⇔ { x 2 < 25 x 2 ≠ 9 x 2 − 2 x − 24 < 0 ⇔ *\begin{cases}
\frac{25 - x^2}{16} > 0\\
\frac{25 - x^2}{16} \neq 1\\
\frac{24 + 2x - x^2}{14} > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
25 - x^2 > 0\\
25 - x^2 \neq 16\\
24 + 2x - x^2 > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x^2 < 25\\
x^2 \neq 9\\
x^2 - 2x - 24 < 0
\end{cases} \Leftrightarrow ∗ ⎩ ⎨ ⎧ 16 25 − x 2 > 0 16 25 − x 2 = 1 14 24 + 2 x − x 2 > 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ 25 − x 2 > 0 25 − x 2 = 16 24 + 2 x − x 2 > 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x 2 < 25 x 2 = 9 x 2 − 2 x − 24 < 0 ⇔ ⇔ { x ∈ ( − 5 ; 5 ) x ≠ ± 3 ( x − 6 ) ( x + 4 ) < 0 ⇔ { x ∈ ( − 5 ; 5 ) x ≠ ± 3 x ∈ ( − 4 ; 6 ) ⇒ x ∈ ( − 4 ; − 3 ) ∪ ( − 3 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 5 ) \Leftrightarrow \begin{cases}
x \in (-5; 5)\\
x \neq \pm 3\\
(x - 6)(x + 4) < 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \in (-5; 5)\\
x \neq \pm 3\\
x \in (-4; 6)
\end{cases} \Rightarrow x \in (-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; 5) ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x ∈ ( − 5 ; 5 ) x = ± 3 ( x − 6 ) ( x + 4 ) < 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x ∈ ( − 5 ; 5 ) x = ± 3 x ∈ ( − 4 ; 6 ) ⇒ x ∈ ( − 4 ; − 3 ) ∪ ( − 3 ; 3 ) ∪ ( 3 ; 5 )
Вернёмся к исходному неравенству:
log 25 − x 2 16 24 + 2 x − x 2 14 − 1 > 0 ⇔ log 25 − x 2 16 24 + 2 x − x 2 14 − log 25 − x 2 16 25 − x 2 16 > 0 \log_{\frac{25 - x^2}{16}}\frac{24 + 2x - x^2}{14} - 1 > 0 \Leftrightarrow \log_{\frac{25 - x^2}{16}}\frac{24 + 2x - x^2}{14} - \log_{\frac{25 - x^2}{16}}\frac{25 - x^2}{16} > 0 log 16 25 − x 2 14 24 + 2 x − x 2 − 1 > 0 ⇔ log 16 25 − x 2 14 24 + 2 x − x 2 − log 16 25 − x 2 16 25 − x 2 > 0
По методу рационализации:
( 25 − x 2 16 − 1 ) ( 24 + 2 x − x 2 14 − 25 − x 2 16 ) > 0 ⇔ ( 9 − x 2 16 ) ( 8 ( 24 + 2 x − x 2 ) − 7 ( 25 − x 2 ) 112 ) > 0 \left(\frac{25 - x^2}{16} - 1\right)\left(\frac{24 + 2x - x^2}{14} - \frac{25 - x^2}{16}\right) > 0 \Leftrightarrow \left(\frac{9 - x^2}{16}\right)\left(\frac{8(24 + 2x - x^2) - 7(25 - x^2)}{112}\right) > 0 ( 16 25 − x 2 − 1 ) ( 14 24 + 2 x − x 2 − 16 25 − x 2 ) > 0 ⇔ ( 16 9 − x 2 ) ( 112 8 ( 24 + 2 x − x 2 ) − 7 ( 25 − x 2 ) ) > 0 ⇔ ( 9 − x 2 ) ( 192 + 16 x − 8 x 2 − 175 + 7 x 2 ) > 0 ⇔ ( 9 − x 2 ) ( 17 + 16 x − x 2 ) > 0 \Leftrightarrow (9 - x^2)(192 + 16x - 8x^2 - 175 + 7x^2) > 0 \Leftrightarrow (9 - x^2)(17 + 16x - x^2) > 0 ⇔ ( 9 − x 2 ) ( 192 + 16 x − 8 x 2 − 175 + 7 x 2 ) > 0 ⇔ ( 9 − x 2 ) ( 17 + 16 x − x 2 ) > 0 ⇔ ( 9 − x 2 ) ( − x 2 + 16 x + 17 ) > 0 ⇔ ( x 2 − 9 ) ( x 2 − 16 x − 17 ) > 0 \Leftrightarrow (9 - x^2)(-x^2 + 16x + 17) > 0 \Leftrightarrow (x^2 - 9)(x^2 - 16x - 17) > 0 ⇔ ( 9 − x 2 ) ( − x 2 + 16 x + 17 ) > 0 ⇔ ( x 2 − 9 ) ( x 2 − 16 x − 17 ) > 0
Получаем:
( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x − 17 ) > 0 (x - 3)(x + 3)(x + 1)(x - 17) > 0 ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x + 1 ) ( x − 17 ) > 0
Получаем:
x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( − 1 ; 3 ) ∪ ( 17 ; + ∞ ) x \in (-\infty; -3) \cup (-1; 3) \cup (17; +\infty) x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( − 1 ; 3 ) ∪ ( 17 ; + ∞ )
С учётом ограничения ∗ * ∗ x ∈ ( − 4 ; − 3 ) ∪ ( − 1 ; 3 ) x \in (-4; -3) \cup (-1; 3) x ∈ ( − 4 ; − 3 ) ∪ ( − 1 ; 3 )
Ответ: ( − 4 ; − 3 ) ∪ ( − 1 ; 3 ) (-4; -3) \cup (-1; 3) ( − 4 ; − 3 ) ∪ ( − 1 ; 3 )
