Тип 18 № 13126

а)

Для доказательства будем использовать тот факт, что равные дуги стягивают равные хорды, то есть, необходимо и достаточно доказать, что $\angle ABN = \angle KBC$.

Пусть $\angle KBC = \alpha$.

Из прямоугольного $\Delta BCH$:    $\angle BCH = 90^\circ - \angle CBH = 90^\circ - \alpha$.

$\angle BOA = 2\angle BCA = 180^\circ - 2\alpha$,; как центральный.

$OA = OB$, как радиусы $\Longrightarrow \Delta BOA$ — равнобедренный, тогда $$\angle OBA = \angle OAB = \dfrac{1}{2}(180^\circ - (180^\circ -2\alpha))=\alpha.$$

Таким образом, $\angle ABN = \angle KBC = \alpha$, поэтому $AN = CK$.

б) Найдем $\angle ABC$:

$$\angle ABC = 180^\circ - \angle ACB - \angle BAC = 180^\circ - 65^\circ - 35^\circ = 80^\circ.$$

$$\angle BCH = 90^\circ - \alpha = 65^\circ \quad \Longrightarrow \quad \alpha = 25^\circ.$$

Найдем $\angle NBK$: $$\angle NBK = \angle ABC - \angle ABN - \angle KBC = 80^\circ - 25^\circ - 25^\circ = 30^\circ.$$

Заметим, что $\angle NBK = 90^\circ$, так как опирается на диаметр.

Кроме того, $BN = 2R=2\cdot12 = 24$

В прямоугольном $\Delta NBK:    \angle NBK = 30^\circ, $ тогда: $$KN = \dfrac{1}{2}BN = \dfrac{1}{2}\cdot 24 = 12.$$

Ответ:    $12$.