Задание 18 № 13130: Вписанные и описанные окружности в треугольниках — ЕГЭ по математике

В треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $AM:MB=CN:NB=2:3$ . Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ , касается отрезка $MN$ в точке $K$ .

а) Докажите, что $AB+BC=4AC$ .

б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$ , если $MK=\dfrac{9}{5}$ и $KN=3$ .

Источник: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Решение:

а)

$AM:MB = CN:NB$ , тогда по теореме Фалеса, ; $MN \parallel AC$ .

Пусть теперь $AM=2x,\; NC =2y$ . Тогда $MB = 3x$ , а $NB = 3y$ .

Далее, трапеция $AMNC$ описана около окружности, тогда $AC + MN = AM+NC = 2x+2y$

Так как $MN \parallel AC$ , то $\Delta MBN \sim \Delta ABC$ .

Получим $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{3x}{2x+3x} = \dfrac{3}{5}$

Из равенства $AC + MN = 2x+2y$ получим $AC + \dfrac{3}{5}AC = 2x+2y \quad \Longrightarrow \quad 4AC = 5x+5y$

Теперь выразим $AB + BC$ : $AB + BC = AM + BM + BN + NC =2x+3x+2y+3y=5x+5y$

Следовательно $AB + BC = 4AC = 5x+5y$

б) Пусть $H$ - точка касания окружности с стороной $AC$ .

А точки $R$ и $L$ — точки касания окружности со сторонами $AM$ и $NC$ соответственно. $OK \perp MN$ $OH \perp AC$ $MN \parallel AC$

Следовательно, $K, O, H\; \text{ лежат на одной прямой}$

Далее, $MK =\dfrac{9}{5},\; KN = 3$ \Longrightarrow $\dfrac{MK}{KN}=\dfrac{3}{5}$

Далее, $AMKP$ — прямоугольная трапеция. Пусть $AH=x$ .

Найдем $AC$ : $AC = MN\cdot \dfrac{5}{3}=\left(\dfrac{9}{5}+3\right) \cdot \dfrac{5}{3} = 8$

Тогда $HC=8-x$

Заметим, что $NL = NK = 3$ и $CH = CL$ , как отрезки касательных, тогда

$NC = CL + LN = 3+8-x = 11 - x$

Аналогично $AM = \dfrac{9}{5}+x$

Опустим высоты $MG$ и $NE$ на сторону $AC$ , $MG=KH, \; NE = KH$ $AG = AH - GH = AH - MK = x - \dfrac{9}{5}$

$CE = HC - EH = HC - KN = 8-x-3=5-x$

По теореме Пифагора в прямоугольном $\Delta MAG$ : $MG^2=AM^2-AG^2=\left(\dfrac{9}{5}+x\right)^2 - \left(x-\dfrac{9}{5}\right)^2$

По теореме Пифагора в прямоугольном $\Delta NCE$ : $NE^2=NC^2-CE^2= (11-x)^2 - (5-x)^2$

Так как $MG=KH, \; NE = KH$ , то $MG=NE$ , следовательно

$\left(\dfrac{9}{5}+x\right)^2 - \left(x-\dfrac{9}{5}\right)^2 = (11-x)^2 - (5-x)^2$ $\dfrac{18}{5}\cdot2x = 121-22x+x^2 - 25+10x-x^2$ $\dfrac{36}{5}x = 96-12x$ $x=5$

Тогда получим $MG^2=\left(\dfrac{9}{5}+5\right)^2 - \left(5-\dfrac{9}{5}\right)^2 = 36$

Следовательно, $KH=MG=6$

Значит, радиус окружности, вписанной в $\Delta ABC$ равен $\dfrac{KH}{2} = 3$ .

Ответ: $3$ .