Тип 18 № 13163

а)

$C_1B_1 \parallel BC$, как средняя линия $\Delta ABC$

$C_1H$ — медиана в прямоугольном $\Delta AHB$, тогда $C_1H = \dfrac{1}{2}AB\ $

$A_1B_1$ — средняя линия $\Delta ABC$, значит $A_1B_1 = \dfrac{1}{2}AB$

Тогда $C_1HA_1B_1$ — равнобедренная трапеция, вокруг нее можно описать окружность, а значит точки $A_1, B_1, C_1, H$ лежат на окружности.

б) $B_1C_1 = \dfrac{1}{2}BC = \sqrt{3}$

$\Delta A_1B_1C_1 \sim ABC$ (по трем пропорциональным сторонам, стороны в два раза меньше меньшего треугольника).

По теореме синусов для $\Delta A_1B_1C_1$: $$R=\dfrac{B_1C_1}{\sin \angle B_1A_1C_1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2 \sin 60^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = 1$$

$C_1B_1 \parallel BC$, $A_1B_1 \parallel AB$ $\Longrightarrow$ $\angle C_1B_1A = \angle BCA = 45^\circ$, $\angle A_1B_1C = \angle BAC = 60^\circ$ (как соответственные)

Тогда $$\angle C_1B_1A_1 = 180^\circ - \angle A_1B_1C - \angle C_1B_1A = 75^\circ$$

$C_1A_1 \parallel AB_1$, $AC_1 \parallel B_1A_1$, тогда $AC_1A_1B_1$ – параллелограмм. Значит $$\angle B_1A_1C_1 = \angle C_1AB_1 = 60^\circ$$

В треугольнике $B_1A_1C_1$: $$\angle B_1C_1A_1 = 180^\circ - \angle C_1B_1A_1 - \angle B_1A_1C_1 = 180^\circ - 75^\circ - 60^\circ = 45^\circ$$

Так как $C_1HA_1B_1$ — равнобедренная трапеция, то $\angle HC_1B_1 = \angle A_1B_1C_1 = 75^\circ$

Тогда $$\angle A_1C_1H = \angle HC_1B_1 - \angle B_1C_1A_1 = 30^\circ$$

По теореме синусов в $\Delta C_1HA_1$: $$R = \dfrac{A_1H}{2 \sin \angle A_1C_1H}$$

Следовательно $$A_1H = 2 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} = 1$$

Ответ: $\; 1$.