Задание 18 № 13165: Вписанные и описанные окружности в треугольниках — ЕГЭ по математике

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$ . Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$ , пересекаются в точке $H$ . Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$ .

а) Докажите, что $AH = AO$ .

б) Найдите площадь треугольника $AHO$ , если $BC = \sqrt{15}$ , $\angle ABC = 45^\circ$ .

Источник: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Решение:

а)

$AO$ — радиус описанной окружности, обозначим за $R$ . По теореме синусов для $\Delta ABC$ :

$R = \dfrac{BC}{2\sin \angle A} = \dfrac{BC}{2\sin 120^\circ} = \dfrac{BC}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{BC}{\sqrt{3}}$

$\angle CNB = \angle CMB = 90^\circ$ тогда точки $C, N, M, B$ лежат на одной окружности с диаметром $CB$ . $CNMB$ — вписанный четырехугольник.

$\angle NCB + \angle NMB = 180^\circ \quad \Longrightarrow \quad \angle NCB = \angle NMH$

Далее $\angle ANH + \angle AMH = 90^\circ+90^\circ=180^\circ$ тогда точки $A, N, M, H$ лежат на одной окружности с диаметром $AH$ . $ANMH$ — вписанный четырехугольник. Тогда $\angle NHM=180^\circ - \angle NAM = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$

Получили, что $\angle HMN = \angle HCB$ и $\angle CHB$ — общий.

Следовательно $\Delta HNM \sim \Delta HBC$ по двум равным углам. При этом коэф. подобия $k =\cos \angle H = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$

Тогда $MN = \dfrac{CB}{2}$

Знаем, что $AH$ — диаметр окружности, описанной около $NHAM$ . Тогда по теореме синусов для $\Delta NHM$ : $\dfrac{MN}{\sin \angle H} = AH$ $\dfrac{MN}{\sin 60^\circ}= \dfrac{CB}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{CB}{\sqrt{3}}=AH$

Таким образом, получили, что

$AO = AH = \dfrac{BC}{\sqrt{3}}$

б)

$AH = AO = \dfrac{BC}{\sqrt{3}} = \sqrt{5}$

$ \angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ $

Пусть $HA$ пересекает $BC$ в точке $A_1$ , $HA_1 \perp BC$ , также проведем радиус $OB$ . $\angle AOB$ — центральный, $\angle AOB = 2\angle ACB = 30^\circ $

Треугольник $AOB$ — равнобедренный $(AO=OB)$ , тогда $\angle OAB = \dfrac{180^\circ - \angle AOB}{2} = \dfrac{180^\circ - 30^\circ}{2}=75^\circ$

Значит $\angle OAA_1 = \angle OAB - \angle A_1AB = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$ .

Теперь можем найти $\angle OAH$ , как смежный с $\angle OAA_1$ : $\angle OAH = 180^\circ - \angle OAA_1 = 150^\circ$

Тогда $S_{AHO} = \dfrac{1}{2}AO \cdot AH \cdot \sin \angle OAH = \frac{1}{2} \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \sin 150^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$

Ответ: $\; \dfrac{5}{4}$ .