Тип 18 № 13204

а)

Трапеции $ABCD$ и $CFED$ — равнобедренные из условия. Углы при их основаниях равны, обозначим их за $\alpha$.

Пусть $\angle B = \angle C =\beta$. Тогда $\angle BCF = \angle C - \angle FCD = \beta-\alpha$.

Из $\Delta AFE$: $$\angle AFE = 180^\circ - \angle FAE - \angle FEA = 180^\circ - 2\alpha$$ Заметим, что $\angle A + \angle B = \alpha + \beta = 180^\circ$ Тогда $$\angle AFE = 180^\circ - 2\alpha = \alpha + \beta - 2\alpha = \beta - \alpha$$ Получили, что $\angle BCF = \angle AFE = \beta - \alpha$

б) $FE = FA = 5$, так как $\Delta FAE$ — равнобедренный.

Пусть $FB = x$, тогда $DE = 3x$, $CD=AB=5+x$

Опустим высоты $EH$ и $FK$ на сторону $CD$. Тогда $$CK=HD=ED\cdot \cos \alpha = 3x\cdot \cos \alpha$$ Тогда $CD = 2\cdot HD + HK =2\cdot HD + FE=2\cdot3x\cdot \cos \alpha + 5 = 6x\cos \alpha+5$

Получим, что $$5+x = 6x\cos \alpha+5$$ $$\cos \alpha = \dfrac{1}{6}, \quad \sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2\alpha}=\dfrac{\sqrt{35}}{6}$$ В прямоугольном $\Delta EHD$: $$EH = ED \cdot \sin \alpha = 3x \cdot \dfrac{\sqrt{35}}{6}=\dfrac{x\sqrt{35}}{2}$$ $$S_{CFED}=\dfrac{FE + CD}{2}\cdot EH = \dfrac{5+5+x}{2}\cdot \dfrac{x\sqrt{35}}{2} = \dfrac{(10+x)x\sqrt{35}}{4}$$ С другой стороны, $S_{CFED}= 14\sqrt{35}$, тогда $$\dfrac{(10+x)x\sqrt{35}}{4} = 14\sqrt{35}$$ $$x^2 + 10x - 56 =0$$ $$x_1=4 \quad x_2=-14 \text{ --- не подходит}$$ Тогда $AB = CD = 5+x = 9$

Пусть $h$ — высота трапеции $ABCD$, тогда $$h=CD\cdot \sin \alpha = 9\cdot \dfrac{\sqrt{35}}{6} = \dfrac{3\sqrt{35}}{2}$$ В равнобедренном $\Delta AFE$: $$AE = 2AF \cdot\cos \alpha = 2\cdot 5 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{3}$$ Тогда $AD = AE + ED = \dfrac{5}{3} + 3\cdot4 = \dfrac{41}{3} $ $$BC = AD - 2CD\cdot \cos \alpha = \dfrac{41}{3} - 2\cdot 9 \cdot\dfrac{1}{6} = \dfrac{32}{3}$$ Значит $$S_{ABCD} = \dfrac{AD+BC}{2}\cdot h =\dfrac{\dfrac{41}{3}+\dfrac{32}{3}}{2}\cdot \dfrac{3\sqrt{35}}{2} = \dfrac{73\sqrt{35}}{4}$$

Ответ: $\; \dfrac{73\sqrt{35}}{4}$.