( ∗ ) { x 2 − 4 > 0 x + 2 ≠ 0 x − 2 x + 2 > 0 ⇔ { x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) x ≠ − 2 x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) (*) \begin{cases}
x^2 - 4 > 0\\
x + 2 \neq 0\\
\frac{x - 2}{x + 2} > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)\\
x \neq -2 \\
x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)
\end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ x 2 − 4 > 0 x + 2 = 0 x + 2 x − 2 > 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) x = − 2 x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )
Преобразуем исходное неравенство:
2 log 2 2 ( x 2 − 4 ) − log 2 − 1 x − 2 x + 2 ≥ − 3 2\log_{2^2}(x^2 - 4) - \log_{2^{-1}}\frac{x - 2}{x + 2} \geq -3 2 log 2 2 ( x 2 − 4 ) − log 2 − 1 x + 2 x − 2 ≥ − 3 log 2 ( x 2 − 4 ) + log 2 x − 2 x + 2 ≥ − 3 ⇔ log 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) + log 2 x − 2 x + 2 ≥ − 3 \log_2(x^2 - 4) + \log_2\frac{x - 2}{x + 2} \geq -3 \Leftrightarrow \log_2(x - 2)(x + 2) + \log_2\frac{x - 2}{x + 2} \geq -3 log 2 ( x 2 − 4 ) + log 2 x + 2 x − 2 ≥ − 3 ⇔ log 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) + log 2 x + 2 x − 2 ≥ − 3 log 2 ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) x + 2 ≥ − 3 \log_2\frac{(x - 2)(x - 2)(x + 2)}{x + 2} \geq -3 log 2 x + 2 ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) ≥ − 3 log 2 ( x − 2 ) 2 ≥ − 3 ⇔ log 2 ( x − 2 ) 2 ≥ − log 2 2 3 ⇔ log 2 ( x − 2 ) 2 ≥ log 2 1 8 \log_2(x - 2)^2 \geq -3 \Leftrightarrow \log_2(x - 2)^2 \geq -\log_22^3 \Leftrightarrow \log_2(x - 2)^2 \geq \log_2\frac{1}{8} log 2 ( x − 2 ) 2 ≥ − 3 ⇔ log 2 ( x − 2 ) 2 ≥ − log 2 2 3 ⇔ log 2 ( x − 2 ) 2 ≥ log 2 8 1 ( x − 2 ) 2 ≥ 1 8 ⇔ ( x − 2 − 1 8 ) ( x − 2 + 1 8 ) ≥ 0 (x - 2)^2 \geq \frac{1}{8} \Leftrightarrow \left(x - 2 - \frac{1}{\sqrt8}\right)\left(x - 2 + \frac{1}{\sqrt8}\right) \geq 0 ( x − 2 ) 2 ≥ 8 1 ⇔ ( x − 2 − 8 1 ) ( x − 2 + 8 1 ) ≥ 0 ( x − 2 − 2 4 ) ( x − 2 + 2 4 ) ≥ 0 \left(x - 2 - \frac{\sqrt2}{4}\right)\left(x - 2 + \frac{\sqrt2}{4}\right) \geq 0 ( x − 2 − 4 2 ) ( x − 2 + 4 2 ) ≥ 0
x ∈ ( − ∞ ; 2 − 2 4 ] ∪ [ 2 + 2 4 ; + ∞ ) x \in \left(-\infty; 2 - \frac{\sqrt2}{4}\right] \cup \left[2 + \frac{\sqrt2}{4}; +\infty\right) x ∈ ( − ∞ ; 2 − 4 2 ] ∪ [ 2 + 4 2 ; + ∞ )
Пересекая с ограничением ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ [ 2 + 2 4 ; + ∞ ) x \in (-\infty; -2) \cup \left[2 + \frac{\sqrt2}{4}; + \infty\right) x ∈ ( − ∞ ; − 2 ) ∪ [ 2 + 4 2 ; + ∞ )
Ответ: ( − ∞ ; − 2 ) ∪ [ 2 + 2 4 ; + ∞ ) (-\infty; -2) \cup \left[2 + \frac{\sqrt2}{4}; + \infty\right) ( − ∞ ; − 2 ) ∪ [ 2 + 4 2 ; + ∞ )
