( ∗ ) { x 2 − 9 > 0 x + 3 ≠ 0 x − 3 x + 3 > 0 ⇔ { x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) x ≠ − 3 x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) (*) \begin{cases}
x^2 - 9 > 0\\
x + 3 \neq 0\\
\frac{x - 3}{x + 3} > 0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)\\
x \neq -3 \\
x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty)
\end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; -3) \cup (3; +\infty) ( ∗ ) ⎩ ⎨ ⎧ x 2 − 9 > 0 x + 3 = 0 x + 3 x − 3 > 0 ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) x = − 3 x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ ) ⇒ x ∈ ( − ∞ ; − 3 ) ∪ ( 3 ; + ∞ )
Преобразуем исходное неравенство:
log 2 − 1 x − 3 x + 3 + 2 log 2 2 ( x 2 − 9 ) ≥ 5 \log_{2^{-1}}\frac{x - 3}{x + 3} + 2\log_{2^2}(x^2 - 9) \geq 5 log 2 − 1 x + 3 x − 3 + 2 log 2 2 ( x 2 − 9 ) ≥ 5 − log 2 x − 3 x + 3 + log 2 ( x 2 − 9 ) ≥ 5 ⇔ log 2 x 2 − 9 x − 3 x + 3 ≥ 5 -\log_2\frac{x - 3}{x + 3} + \log_2(x^2 - 9) \geq 5 \Leftrightarrow \log_2\frac{x^2 - 9}{\frac{x - 3}{x + 3}} \geq 5 − log 2 x + 3 x − 3 + log 2 ( x 2 − 9 ) ≥ 5 ⇔ log 2 x + 3 x − 3 x 2 − 9 ≥ 5 log 2 ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) x − 3 ≥ 5 ⇔ log 2 ( x + 3 ) 2 ≥ 5 \log_2\frac{(x - 3)(x + 3)(x + 3)}{x - 3} \geq 5 \Leftrightarrow \log_2(x + 3)^2 \geq 5 log 2 x − 3 ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x + 3 ) ≥ 5 ⇔ log 2 ( x + 3 ) 2 ≥ 5 log 2 ( x + 3 ) 2 ≥ log 2 32 \log_2(x + 3)^2 \geq \log_2 32 log 2 ( x + 3 ) 2 ≥ log 2 32 ( x + 3 ) 2 ≥ 32 ⇔ ( x + 3 − 32 ) ( x + 3 + 32 ) ⇔ ( x + 3 − 4 2 ) ( x + 3 + 4 2 ) (x + 3)^2 \geq 32 \Leftrightarrow (x + 3 - \sqrt{32})(x + 3 + \sqrt{32}) \Leftrightarrow (x + 3 - 4\sqrt2)(x + 3 + 4\sqrt2) ( x + 3 ) 2 ≥ 32 ⇔ ( x + 3 − 32 ) ( x + 3 + 32 ) ⇔ ( x + 3 − 4 2 ) ( x + 3 + 4 2 )
x ∈ ( − ∞ ; − 3 − 4 2 ] ∪ [ − 3 + 4 2 ; + ∞ ) x \in \left(-\infty; -3 - 4\sqrt{2}\right] \cup \left[-3 + 4\sqrt{2}; +\infty\right) x ∈ ( − ∞ ; − 3 − 4 2 ] ∪ [ − 3 + 4 2 ; + ∞ )
Пересекая с ограничением ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( − ∞ ; − 3 − 4 2 ] ∪ ( 3 ; + ∞ ) x \in (-\infty; -3 - 4\sqrt{2}] \cup (3; +\infty) x ∈ ( − ∞ ; − 3 − 4 2 ] ∪ ( 3 ; + ∞ )
Ответ: ( − ∞ ; − 3 − 4 2 ] ∪ ( 3 ; + ∞ ) (-\infty; -3 - 4\sqrt2] \cup (3; + \infty) ( − ∞ ; − 3 − 4 2 ] ∪ ( 3 ; + ∞ )
