Тип 16 № 15722

$$(*) x \neq 0$$ Преобразуем неравенство: $$80\cdot5^{-\frac{8}{x}} - 189\cdot5^{-\frac{4}{x}}\cdot4^{-\frac{4}{x}} + 100\cdot4^{-\frac{8}{x}} \leq 0$$ Домножим неравенство на $5^{\frac{4}{x}}\cdot4^{\frac{4}{x}} > 0$: $$80\cdot5^{-\frac{4}{x}}\cdot4^{\frac{4}{x}} - 189 + 100\cdot4^{-\frac{4}{x}}\cdot5^{\frac{4}{x}} \leq 0$$ $$80\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{\frac{4}{x}} - 189 + 100 \cdot\left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \leq 0$$ Пусть $t = \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} > 0$

Тогда: $$100t + \frac{80}{t} - 189 \leq 0 \Leftrightarrow 100t^2 -189t + 80 \leq 0$$ $$D = 189^2 - 4\cdot100\cdot80 = 35721 - 32000 =3721 = 61^2$$ $$t_1 = \frac{189 + 61}{200} = \frac{5}{4}$$ $$t_2 = \frac{189 - 61}{200} = \frac{128}{200} = \frac{16}{25}$$ $$\left(t - \frac{16}{25}\right)\left(t - \frac{5}{4}\right) \leq 0 \Rightarrow t \in \left[\frac{16}{25}; \frac{5}{4}\right]$$ $$\begin{cases} t \geq \frac{16}{25}\\ t \leq \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \geq \frac{16}{25}\\ \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \leq \frac{5}{4} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \geq \left(\frac{5}{4}\right)^{-2}\\ \left(\frac{5}{4}\right)^{\frac{4}{x}} \leq \left(\frac{5}{4}\right)^1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{4}{x} \geq -2\\ \tfrac{4}{x} \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x + 2}{x} \geq 0\\ \frac{x - 4}{x} \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \in (-\infty; -2] \cup (0; +\infty)\\ x \in (-\infty; 0) \cup [4; +\infty) \end{cases}$$ Пересекая решения, получаем ответ: $$x \in (-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -2] \cup [4; +\infty)$