Тип 14 № 15771

a) Преобразуем степени к основанию 2: $$4^{1-10x} = (2^2)^{1-10x} = 2^{2(1-10x)} = 2^{2-20x}$$ $$32^{0,4-2x} = (2^5)^{0,4-2x} = 2^{5(0,4-2x)} = 2^{2-10x}$$

Подставляем в уравнение: $$2^{2-20x} - 29 \cdot 2^{2-10x} + 400 = 0$$

Разделим обе части на $2^2 = 4$: $$2^{-20x} - 29 \cdot 2^{-10x} + 100 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^{-10x}$, где $t > 0$: $$t^2 - 29t + 100 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = 29^2 - 4 \cdot 100 = 841 - 400 = 441$$ $$\sqrt{D} = 21$$ $$t_{1,2} = \frac{29 \pm 21}{2}$$ $$t_1 = \frac{29 + 21}{2} = 25, \quad t_2 = \frac{29 - 21}{2} = 4$$

Возвращаемся к переменной $x$:

1. $$2^{-10x} = 25 \leftrightarrow -10x = \log_2 25$$ $$x = -\frac{1}{10} \log_2 25 = -\frac{1}{5} \log_2 5$$

2. $$2^{-10x} = 4 \leftrightarrow 2^{-10x} = 2^2$$ $$-10x = 2$$ $$x = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5} = -0,2$$

Общее решение: $$x_1 = -\frac{1}{5} \log_2 5; \quad x_2 = -\frac{1}{5}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -0,5; 0 \right]$:

1. $x_2 = -\frac{1}{5} = -0,2$ $$-0,5 \leq -0,2 \leq 0 \quad \text{— верно}$$

2. $x_1 = -\frac{1}{5} \log_2 5$

Оценим значение: $$\log_2 4 = 2, \quad \log_2 5 \approx 2,32$$ $$x_1 \approx -\frac{1}{5} \cdot 2,32 \approx -0,464$$ $$-0,5 \leq -0,464 \leq 0 \quad \text{— верно}$$

Итак, оба корня принадлежат отрезку $[-0,5; 0]$

Ответ: а) $-\frac{1}{5} \log_2 5; -\frac{1}{5}$
б) $-\frac{1}{5} \log_2 5; -\frac{1}{5}$