Тип 14 № 15777

a) Выпишем ограничение: $x - 3 > 0$, т.е. $x > 3$.

Преобразуем слагаемые:

$$\log_3^3(x-3)^2 = \bigl( \log_3 (x-3)^2 \bigr)^3 = \bigl( 2\log_3 (x-3) \bigr)^3 = 8 \log_3^3 (x-3).$$

$$\log_3 \frac{1}{x-3} = -\log_3 (x-3).$$

$$\log_3^2 \frac{1}{(x-3)^4} = \bigl( \log_3 (x-3)^{-4} \bigr)^2 = \bigl( -4\log_3 (x-3) \bigr)^2 = 16 \log_3^2 (x-3).$$

Подставим в уравнение:

$$8 \log_3^3 (x-3) + 8\bigl( -\log_3 (x-3) \bigr) + 16 = 16 \log_3^2 (x-3).$$

$$8 \log_3^3 (x-3) - 8\log_3 (x-3) + 16 = 16 \log_3^2 (x-3).$$

$$8 \log_3^3 (x-3) - 16 \log_3^2 (x-3) - 8\log_3 (x-3) + 16 = 0.$$

$$8 \bigl( \log_3^3 (x-3) - 2 \log_3^2 (x-3) - \log_3 (x-3) + 2 \bigr) = 0.$$

$$\log_3^3 (x-3) - 2 \log_3^2 (x-3) - \log_3 (x-3) + 2 = 0.$$

Сделаем замену $t = \log_3 (x-3)$:

$$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0.$$

$$t^2(t-2) - (t-2) = 0.$$

$$(t-2)(t^2 - 1) = 0.$$

$$(t-2)(t-1)(t+1) = 0.$$

$$t_1 = 2, \quad t_2 = 1, \quad t_3 = -1.$$

Обратная замена:

1. $t = 2$: $\log_3 (x-3) = 2$ $\Rightarrow$ $x-3 = 3^2 = 9$ $\Rightarrow$ $x_1 = 12$.
2. $t = 1$: $\log_3 (x-3) = 1$ $\Rightarrow$ $x-3 = 3^1 = 3$ $\Rightarrow$ $x_2 = 6$.
3. $t = -1$: $\log_3 (x-3) = -1$ $\Rightarrow$ $x-3 = 3^{-1} = \frac13$ $\Rightarrow$ $x_3 = 3\frac13$.

Все корни удовлетворяют условию $x > 3$.

Итак, корни уравнения: $$3\frac13; \; 6; \; 12.$$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[\log_{0.6} \frac{1}{6}; \; \log_{0.8} \frac{1}{8}]$.

1) Проверим $x = 3\frac{1}{3}$:

$$\log_{0,6}\frac{1}{6} \neq 3\frac{1}{3}.$$ Так как основание $0{,}6<1$, то неравенство $\log_{0,6}\frac{1}{6} > 3$ проверяется сравнением: $$\left(\frac{3}{5}\right)^3 = \frac{27}{125} = 0{,}216 > \frac{1}{6}.$$ Значит $\log_{0,6}\frac{1}{6} > 3$, а $3\frac{1}{3} \approx 3{,}333 < \log_{0,6}\frac{1}{6}$. Следовательно, $x_3 \notin [\log_{0,6}\frac{1}{6};\ \log_{0,8}\frac{1}{8}]$.

2) Проверим $x = 12$:

Проверяем $12 \leq \log_{0,8}\frac{1}{8}$. Это равносильно $0{,}8^{12} \geq \frac{1}{8}$ при основании $0{,}8<1$. Вычисляем: $$0{,}8^{12} = \left(\frac{4}{5}\right)^{12} = \frac{4^{12}}{5^{12}} \approx 0{,}0687 < 0{,}125 = \frac{1}{8}.$$ Значит неравенство неверно, следовательно $x_1 \notin [\log_{0,6}\frac{1}{6};\ \log_{0,8}\frac{1}{8}]$.

3) Проверим $x = 6$:

Требуется: $$\log_{0,6}\frac{1}{6} \leq 6 \leq \log_{0,8}\frac{1}{8}.$$

• Левое неравенство: $\log_{0,6}\frac{1}{6} \leq 6$. Так как основание $0{,}6<1$, это равносильно: $$\frac{1}{6} \geq 0{,}6^6 = \left(\frac{3}{5}\right)^6 = \frac{729}{15625} \approx 0{,}0467.$$ Это верно, так как $\frac{1}{6} \approx 0{,}1667 > 0{,}0467$.
• Правое неравенство: $6 \leq \log_{0,8}\frac{1}{8}$. Так как основание $0{,}8<1$, это равносильно: $$0{,}8^6 = \left(\frac{4}{5}\right)^6 = \frac{4096}{15625} \approx 0{,}2621 \geq \frac{1}{8} = 0{,}125.$$

Оба неравенства выполняются, значит $x = 6$ принадлежит отрезку.

Ответ: а) $3\frac13; \; 6; \; 12.$
б) $6.$