Тип 14 № 15779

a) Упростим уравнение, используя формулу приведения: $$\sin\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos 2x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x - \cos^2 x$$

Подставляем в уравнение: $$\frac{\sin^4 x - (\sin^2 x - \cos^2 x) - \cos^2 x}{2\sin^2\left(\frac{x - \pi}{4}\right) + 3\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right) - 2} = 0$$

Упрощаем числитель: $$\sin^4 x - \sin^2 x + \cos^2 x - \cos^2 x = \sin^4 x - \sin^2 x = \sin^2 x (\sin^2 x - 1)$$

Упрощаем знаменатель, используя $\cos\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{4}\right) = \cos\left(\frac{x - \pi}{4}\right)$: $$2\sin^2\left(\frac{x - \pi}{4}\right) = 1 - \cos\left(\frac{x - \pi}{2}\right) = 1 - (2\cos^2\left(\frac{x - \pi}{4}\right) - 1) = 2 - 2\cos^2\left(\frac{x - \pi}{4}\right)$$

Тогда знаменатель: $$(2 - 2\cos^2\left(\frac{x - \pi}{4}\right)) + 3\cos\left(\frac{x - \pi}{4}\right) - 2 = \cos\left(\frac{x - \pi}{4}\right)(3 - 2\cos\left(\frac{x - \pi}{4}\right))$$

Получаем: $$\frac{\sin^2 x (\sin^2 x - 1)}{\cos\left(\frac{x - \pi}{4}\right)(3 - 2\cos\left(\frac{x - \pi}{4}\right))} = 0$$

Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} \sin^2 x (\sin^2 x - 1) = 0 \\ \cos\left(\tfrac{x - \pi}{4}\right) \neq 0 \\ 3 - 2\cos\left(\tfrac{x - \pi}{4}\right) \neq 0 \end{cases}$$

Решаем первое уравнение: $$\sin^2 x = 0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x = 1$$ $$x = \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Учитывая, что $\cos\left(\frac{x - \pi}{4}\right) \neq 0 \Rightarrow \frac{x - \pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x \neq 3\pi + 4\pi k$

Для $x = \pi k$ исключаем $x = 3 \pi + 4\pi k$

Таким образом получаем: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad$$ $$x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad$$ $$x = \pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$ с помощью неравенства:

$$0 \leq \frac{\pi}{2} + \pi k \leq 4\pi; \quad -\frac{\pi}{2} \leq \pi k \leq \frac{7\pi}{2}; \quad -0.5 \leq k \leq 3.5, \text{ откуда}$$ $$k = 0, \quad x = \frac{\pi}{2}; \quad k = 1, \quad x = \frac{3\pi}{2}; \quad k = 2, \quad x = \frac{5\pi}{2}; \quad k = 3, \quad x = \frac{7\pi}{2} \quad \text{или}$$ $$0 \leq 2\pi k \leq 4\pi; \quad 0 \leq k \leq 2, \text{ откуда}$$ $$k = 0, \quad x = 0; \quad k = 1, \quad x = 2\pi; \quad k = 2, \quad x = 4\pi \quad \text{или}$$ $$0 \leq \pi + 4\pi k \leq 4\pi; \quad -\pi \leq 4\pi k \leq 3\pi; \quad -\frac{1}{4} \leq k \leq \frac{3}{4}; \quad \text{откуда}$$ $$k = 0, \quad x = \pi$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, 4\pi.$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ \pi + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$
б) $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}, \frac{7\pi}{2}, 4\pi.$