а) Упростим левую часть, используя формулу разности квадратов:
sin44x−cos44x=(sin24x−cos24x)(sin24x+cos24x)=sin24x−cos24x.
Далее применяем формулу косинуса двойного угла cos2α=cos2α−sin2α, откуда
sin24x−cos24x=−cos2x.
Упростим правую часть, используя формулу приведения:
cos(x−23π)=cos(23π−x)=−sinx.
Таким образом, исходное уравнение принимает вид:
−cos2x=−sinx⇒cos2x=sinx.
Преобразуем sinx с помощью формулы двойного угла:
sinx=2sin2xcos2x.
Подставляем:
cos2x=2sin2xcos2x.
cos2x−2sin2xcos2x=0⇒cos2x(1−2sin2x)=0.
Получаем:
-
cos2x=0:
2x=2π+πk,k∈Z⇒x=π+2πk,k∈Z.
-
1−2sin2x=0⇒sin2x=21:
2x=6π+2πkили2x=65π+2πk,k∈Z.
x=3π+4πkилиx=35π+4πk,k∈Z.
Таким образом, получаем:
π+2πk,k∈Z;3π+4πk,k∈Z;35π+4πk,k∈Z.
б) Отберём корни на отрезке [−4π;−π] с помощью неравенства:
−4π≤π+2πk≤−π;−5π≤2πk≤−2π;−25≤k≤−1,
откуда k=−2 или k=−1, а x=−3π или x=−π;
−4π≤3π+4πk≤−π;−313π≤4πk≤−34π;−1213≤k≤−31,
откуда k=−1, а x=−311π;
−4π≤35π+4πk≤−π;−317π≤4πk≤−38π;−1217≤k≤−32,
откуда k=−1, а x=−37π.
Ответ: а) π+2πk,3π+4πk,35π+4πk,k∈Z;
б) −311π,−3π,−37π,−π.