Тип 14 № 15791

а) Преобразуем левую часть, используя формулу произведения синусов: $$\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\sin\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}[\cos(-\frac{\pi}{2}) - \cos x] = -\frac{1}{2}\cos x.$$

Тогда левая часть уравнения: $$2\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{4}\right)\sin^2\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = 2\left[-\frac{1}{2}\cos x\right]^2 = 2\cdot\frac{1}{4}\cos^2 x = \frac{1}{2}\cos^2 x.$$

Уравнение принимает вид: $$\frac{1}{2}\cos^2 x = \cos^4 x.$$ $$\cos^4 x - \frac{1}{2}\cos^2 x = 0.$$ $$\cos^2 x\left(\cos^2 x - \frac{1}{2}\right) = 0.$$

1. $\cos^2 x = 0$: $$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

2. $\cos^2 x = \frac{1}{2}$: $$\cos x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом получаем:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n,\; n \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-3\pi; -2\pi\right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Для $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$: $$-3\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{5\pi}{2}$$

Для $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi k$: $$-3\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{11\pi}{4}$$

Для $x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k$: $$-2\pi - \frac{\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$$

{Корни, принадлежащие отрезку:} $$-\frac{11\pi}{4};\; -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{9\pi}{4}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{\pi}{4} + \pi k,\; k \in \mathbb{Z}.$

б) $-\frac{11\pi}{4};\; -\frac{5\pi}{2};\; -\frac{9\pi}{4}$