Тип 14 № 15803

а) Преобразуем уравнение: $$\sin x \cdot \cos 2x - \sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0.$$ Используем формулу $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$: $$\sin x \cdot (2\cos^2 x - 1) - \sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0,$$ $$2\sin x \cos^2 x - \sin x - \sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0,$$ $$2\sin x \cos^2 x - \sqrt{3} \cos^2 x = 0.$$ Вынесем $\cos^2 x$: $$\cos^2 x \cdot (2\sin x - \sqrt{3}) = 0.$$

Получаем два случая:

1. $\cos^2 x = 0$: $$\cos x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

2. $2\sin x - \sqrt{3} = 0$: $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{5\pi}{2}; 4\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{5\pi}{2}; \frac{8\pi}{3}; \frac{7\pi}{2}.$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z};$

б) $\frac{5\pi}{2}; \; \frac{8\pi}{3}; \; \frac{7\pi}{2}.$