Тип 14 № 15811

a) Преобразуем уравнение:

$$25^{x+0,5} = 25^x \cdot 25^{0,5} = 5 \cdot 25^x,$$ $$1,2 \cdot 2^{4x+1} = 1,2 \cdot 2 \cdot 2^{4x} = 2,4 \cdot 2^{4x},$$ $$140 \cdot 20^{x-1} = 140 \cdot 20^x \cdot 20^{-1} = 7 \cdot 20^x.$$

Подставляем: $$5 \cdot 25^x + 2,4 \cdot 2^{4x} = 7 \cdot 20^x.$$

Заметим, что: $$2^{4x} = (2^2)^{2x} = 4^{2x},$$ $$25^x = 5^{2x}, \quad 20^x = 4^x \cdot 5^x.$$

Перепишем уравнение: $$5 \cdot 5^{2x} + 2,4 \cdot 4^{2x} = 7 \cdot 4^x \cdot 5^x.$$

Введём замену $t = \left( \frac{4}{5} \right)^x$, тогда: $$5^{2x} = \left( \frac{5}{4} \right)^{2x} \cdot 4^{2x} = \frac{4^{2x}}{t^2},$$ $$4^x \cdot 5^x = 4^{2x} \cdot \frac{1}{t}.$$

Но проще заметить, что $25^x = 5^{2x}$, $2^{4x} = 4^{2x}$, $20^x = 4^x \cdot 5^x$.

Домножим уравнение на $\frac{1}{4^{2x}}$: $$5 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^{2x} + 2,4 = 7 \cdot \left( \frac{5}{4} \right)^x.$$

Пусть $\left( \frac{5}{4} \right)^x = u > 0$, тогда: $$5u^2 - 7u + 2,4 = 0.$$ $$D = 49 - 48 = 1, \quad \sqrt{D} = 1.$$ $$u = \frac{7 \pm 1}{10} = \begin{cases} u_1 = 0,8, \\ u_2 = 0,6. \end{cases}$$

Таким образом: $$\left( \frac{5}{4} \right)^x = 0,8 = \frac{4}{5} \quad \text{или} \quad \left( \frac{5}{4} \right)^x = 0,6.$$

Отсюда: $$x = -1 \quad \text{или} \quad x = \log_{1,25} 0,6.$$

б) Для $x = -1$ условие $-2,5 \leq x \leq -0,5$ выполнено.

Для $x = \log_{1,25} 0,6$ получаем: $$\log_{1,25} 0,6 < \log_{1,25} 1 = 0,$$ $$\log_{1,25} 0,6 > \log_{1,25} 0,5 = \log_{1,25} \frac{1}{2} \approx -3,11 > -2,5.$$

Таким образом, $x = \log_{1,25} 0,6$ также принадлежит отрезку $[-2,5; -0,5]$.

Ответ:
a) $-1; \ \log_{1,25} 0,6;$
б) $-1; \ \log_{1,25} 0,6.$